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可除群

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群论中,一个可除群是一个满足以下条件的阿贝尔群 :对每个正整数 及元素 ,存在 使得 。等价的表法是:。事实上,可除群恰好是 上的内射模,所以有时也称之为内射群

例子

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  • 有理数 对加法构成可除群。
  • 一般而言,任何 -向量空间对加法都构成可除群。
  • 可除群的商群仍可除,如
  • p-Prüfer 群 是可除群
  • 模型论中,任何存在性封闭的群皆可解。

可除群结构定理

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为可解群,则其挠子群 亦可除。由于可解群是 -内射模 是直和项,即:

商群 亦可解,而且其中没有挠元,所以它是 -上的向量空间:存在集合 使得

挠子群的结构稍复杂,然而可以证明对所有素数 ,存在 使得

其中 是的 -准素部分。于是:

推广

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一个 上的左可除模是满足 的模 。可除群不外是可除 -模。主理想域上的可除模恰好是内射模