单态射

在范畴论里，一个态射被称之为单态射，则该态射为一具左消去律的态射。亦即，给定一单态射 $f:X\rightarrow Y$，则对所有的态射$g_{1},g_{2}:Z\rightarrow X$，均能使得

$f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.$

单态射是单射函数（或称为一对一函数）在范畤论里的延伸。单态射的对偶概念为满态射，后者为满射函数的延伸。一态射于范畴 $C$ 里为单态射，则该态射于对偶范畴 $C^{op}$ 里为满态射。

性质

• 具左反元素的态射必为一单态射。因为，如一态射 $f$ 具有一左反元素 $l$（即 $l$ 为一态射，且$l\circ f=\operatorname {id} _{X}$），则可知

$f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow l\circ f\circ g_{1}=l\circ f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.$

• 不是每一个单态射都会有左反元素。举例来说，在由所有群所组成的范畴Group里，如 $H$ 是 $G$ 的子群，则其包含映射 $f:H\rightarrow G$ 总会是个单态射；但 $f$ 于该范畴里具有一左反元素，当且仅当 $H$ 在 $G$ 里有一正规补群。

• 如态射 $f$ 的左反元素为一态射 $l$ ，则态射 $f$ 为态射 $l$ 的右反元素，并称 $f$ 为 $l$ 的截面，$l$ 为f 的收缩。每个截面都会是个单态射，且每个收缩都会是个满态射。

• 一态射 $f:X\rightarrow Y$ 为单态射，当且仅当对所有的 $Z$，定义一个映射 $f_{*}:\hom(Z,X)\rightarrow \hom(Z,Y)$， 使得对所有的态射$h:Z\rightarrow X$，$f_{*}(h)=f\circ h$，则其映射必为单射。

• 在具体范畴里，每个为单射函数的态射均为单态射；换句话说，当态射实际上为集合间的函数时，一态射如为一对一函数，则该态射必为单态射。

• 在集合范畴里，每个单态射也会是个单射态射。该叙述在大多数可于代数里自然产生的范畴里也都成立，如在由所有群组成的范畴、由所有环组成的范畴，及所有的阿贝尔范畴里，每个单态射都会是个单射态射。

• 不是在所有的具体范畴里，每个单态射都会是个单射态射。举例来说，在由可除交换群所组成的范畴里，其中即存在着为单态射，但不为单射态射的群同态，如商映射$q:\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z}$（其中的 $\mathbb {Q}$ 为由有理数在加法运算下所组成的群，$\mathbb {Z}$ 为由整数在加法运算下所组成的群，且 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ 为其商群)不是单射（因为每个整数都会映射至0），但为单态射。

另见

• 嵌入 (数学)
• 子对象

参考资料

• George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
• Francis Borceux (1994), Handbook of Categorical Algebra 1, Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.
• Monomorphism, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语） 
• Jaap van Oosten, Basic Category Theory（页面存档备份，存于互联网档案馆）