三维图表显示对数平均的值
对数平均是一个二个非负数字的数学函数,等于两者的差除以其对数的差。其符号为:
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln \eta -\ln \xi }},\\&={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ or }}y=0,\\x&{\text{if }}x=y,\\{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c542c4eafd190570559c59ed63f4fd17530ab2)
其中
都是正整数。
对数平均的计算适用在有关热传及质传的工程问题上。
二个数字的对数平均小于其算术平均,大于几何平均[1],若二个数字相等,对数平均会等于算数平均及几何平均。
![{\displaystyle {\sqrt {x\cdot y}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x\geq 0{\text{ and }}y\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597593b6604f8dcd4c8abd14c96bec084592e73a)
根据均值定理
![{\displaystyle \exists \xi \in [x,y]:\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36bcfa31fe17ea70437ea67c242bb5d26d48772)
若将
改为
,对数平均可以由
来求得
![{\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df62299a590bcbd1bf836366def49d33295f5fb)
求解
。
![{\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b32eab7407138777e53da2de99ab2d44886743)
对数平均也可以表示为指数函数以下的面积。
![{\displaystyle L(x,y)=\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1148c581d7e973d55bdd83c1639b0b90cd0edc7)
面积的表示法可以推导一个有关对数平均的基本性质。
因为指数函数为单调函数,长度为1区间的的积分会在
和
之间。积分算子的齐次性转移到平均算子,因此
.
对数平均可推广到
变数,考虑对数n阶导数的均差中值定理。
可以得到:
其中
为对数的均差。
若
,会变成
.
积分的表示法也可以推广到多变数,但结果不同。
假设单纯形
其中
及适当的量度
可以使单纯形得到1的体积,可得
![{\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87030332fd6c78640b6925605c5dc6243114ec1)
利用指数函数的均差可以简化如下
.
例如
.
(算术平均)