三維圖表顯示對數平均的值
對數平均是一個二個非負數字的數學函數,等於兩者的差除以其對數的差。其符號為:
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln \eta -\ln \xi }},\\&={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ or }}y=0,\\x&{\text{if }}x=y,\\{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c542c4eafd190570559c59ed63f4fd17530ab2)
其中
都是正整數。
對數平均的計算適用在有關熱傳及質傳的工程問題上。
二個數字的對數平均小於其算術平均,大於幾何平均[1],若二個數字相等,對數平均會等於算數平均及幾何平均。
![{\displaystyle {\sqrt {x\cdot y}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x\geq 0{\text{ and }}y\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597593b6604f8dcd4c8abd14c96bec084592e73a)
根據均值定理
![{\displaystyle \exists \xi \in [x,y]:\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36bcfa31fe17ea70437ea67c242bb5d26d48772)
若將
改為
,對數平均可以由
來求得
![{\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df62299a590bcbd1bf836366def49d33295f5fb)
求解
。
![{\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b32eab7407138777e53da2de99ab2d44886743)
對數平均也可以表示為指數函數以下的面積。
![{\displaystyle L(x,y)=\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1148c581d7e973d55bdd83c1639b0b90cd0edc7)
面積的表示法可以推導一個有關對數平均的基本性質。
因為指數函數為單調函數,長度為1區間的的積分會在
和
之間。積分算子的齊次性轉移到平均算子,因此
.
對數平均可推廣到
變數,考慮對數n階導數的均差中值定理。
可以得到:
其中
為對數的均差。
若
,會變成
.
積分的表示法也可以推廣到多變數,但結果不同。
假設單純形
其中
及適當的量度
可以使單純形得到1的體積,可得
![{\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87030332fd6c78640b6925605c5dc6243114ec1)
利用指數函數的均差可以簡化如下
.
例如
.
(算術平均)