微元法(英语:Differential element method),也叫元素法、微元素法、无穷小元素的求和法,是数学和物理中常用的一种求解数学和物理问题的方法。
在求解力学量和物理量的实际应用中,很多新量的建立需要类似定积分中在求解面积和路程问题时分割、近似、求和、取极限的过程,为了使这一过程简化,微元法也就应运而生,微元法本身就是定积分的原始思想,它可以看做分割、近似、求和、取极限的简略过程,所以微元法也是一种思想方法。
历史上,在微积分的理论基础还不清楚,微分还没有严格定义时,微分被理解为一个比零大,但又比任何正数小的神秘的“数”,是无法理解的,这与现代明确的微分定义是不同的,它所对应的被度量的物理量就是微元。微元就是用这种无限小“微分”度量的具体的量,把微元理解为一个“无限小的过程”即“元过程”,这个“过程”可以是角度、线段、面、体,还可以是时间、位移、功等等,积分便是这些“无限小过程”之和,在求解力学量和物理量时,用这种想法可以快速地建立新量的积分表达式,因为这种想法方便实用,简便快捷,所以应用相当广泛。
当微积分的理论基础严格建立起来之后,旧的微分概念被抛弃了,取而代之的是现在的微分概念,微元法也有了严格的叙述方式,但在实际应用中,严格叙述较为繁琐,所以往往还是采用过去的理解,把微元看做“无限小的过程”。
假设在某一实际问题中,对于给定的连续函数
,量
有以下三个特点:
1.一方面,
是由区间
所决定的常量,不妨记之为
。另一方面,当考虑右端点变动的区间
时,
又依赖于
而成为变量,也就是说,它又是
的函数而简记为
。
2.对于
的每个子区间,
都有确定的值,并且关于区间有可加性,即若
,则
![{\displaystyle Q([\alpha ,\gamma ])=Q([\alpha ,\beta ])+Q([\beta ,\gamma ]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab296adadb478b5b1710534d116f0d8b10f2c419)
3.部分量
的近似值可表示为
。
为了计算出量
并把它表达为积分的形式,我们采取两个步骤:
第一步(分割、近似),将区间
进行分割,而得到
![{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e391833bc75d14d159ad72560b82a974e4e3eb04)
,
并求出
(即
)的近似值
。
第二步(求和、取极限),将
关于
从
到
求和得到
![{\displaystyle Q([a,b])=\sum _{i=0}^{n-1}Q([x_{i},x_{i+1}])\approx \sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82dd8394e624dbcdc91e64cf289cb04c674d8331)
令
取极限,由于连续函数
的可积性,最后得
![{\displaystyle Q([a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0024d9cd1fcc8d7b2b54c1dba7e273ebfe8e577)
接下来我们把这个过程进行简化。
由上式可以知道
![{\displaystyle Q(x)=Q([a,x])=\int _{a}^{x}f(x)\,dx(a<x\leq b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc8588970061273cd9d8f48b43763848b39202d)
如果略去足码
,而将任意的小区间记为
,并取
的近似值为
,由微分形式的微积分基本定理[1]可知,它恰恰是
的微分,即
于是在实际应用上,上述两个步骤可以简述为
第一步,在区间
上计算
的微分
第二步,在
上求和(求积)得
![{\displaystyle Q=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a48b6e3801d89e75e8f6d4aadf09352199e7a737)
不论是几何的物理的还是其他科学技术的量,只要它具有上述的三个特点,我们就可以用这个一般的程式求出它。这种方法通常称为无穷小元素的求和法或微元法。而
及
则称为无穷小元素或微元。由于在力学和物理学的大部分问题中,通过问题的实际意义可以知道,所求量的函数是连续函数,因此微元法总是可以应用的。
- ^ 微分形式的微积分基本定理:
若函数
,则
,且有
.
- 《微积分学教程》菲赫金哥尔茨编
- 《数学分析》宋国柱等编
- 《数学分析(第三版)》华东师范大学数学系编
- 《高等数学(第六版)》同济大学数学系编