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微元法

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微元法(英語:Differential element method),也叫元素法微元素法無窮小元素的求和法,是數學物理中常用的一種求解數學和物理問題的方法。

概述

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在求解力學量和物理量的實際應用中,很多新量的建立需要類似定積分中在求解面積和路程問題時分割、近似、求和、取極限的過程,為了使這一過程簡化,微元法也就應運而生,微元法本身就是定積分的原始思想,它可以看做分割、近似、求和、取極限的簡略過程,所以微元法也是一種思想方法。

歷史上,在微積分的理論基礎還不清楚,微分還沒有嚴格定義時,微分被理解為一個比零大,但又比任何正數小的神秘的「數」,是無法理解的,這與現代明確的微分定義是不同的,它所對應的被度量的物理量就是微元。微元就是用這種無限小「微分」度量的具體的量,把微元理解為一個「無限小的過程」即「元過程」,這個「過程」可以是角度線段、面、體,還可以是時間位移等等,積分便是這些「無限小過程」之和,在求解力學量和物理量時,用這種想法可以快速地建立新量的積分表達式,因為這種想法方便實用,簡便快捷,所以應用相當廣泛。

微積分的理論基礎嚴格建立起來之後,舊的微分概念被拋棄了,取而代之的是現在的微分概念,微元法也有了嚴格的敘述方式,但在實際應用中,嚴格敘述較為繁瑣,所以往往還是採用過去的理解,把微元看做「無限小的過程」。

內容

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假設在某一實際問題中,對於給定的連續函數,量有以下三個特點:

1.一方面,是由區間所決定的常量,不妨記之為。另一方面,當考慮右端點變動的區間時,又依賴於而成為變量,也就是說,它又是的函數而簡記為
2.對於的每個子區間,都有確定的值,並且關於區間有可加性,即若,則

3.部分量的近似值可表示為

為了計算出量並把它表達為積分的形式,我們採取兩個步驟:

第一步(分割、近似),將區間進行分割,而得到

,

並求出(即)的近似值

第二步(求和、取極限),將關於求和得到

取極限,由於連續函數的可積性,最後得

接下來我們把這個過程進行簡化。

由上式可以知道

如果略去足碼,而將任意的小區間記為,並取的近似值為,由微分形式的微積分基本定理[1]可知,它恰恰是微分,即 於是在實際應用上,上述兩個步驟可以簡述為

第一步,在區間上計算的微分

第二步,在上求和(求積)得

不論是幾何的物理的還是其他科學技術的量,只要它具有上述的三個特點,我們就可以用這個一般的程式求出它。這種方法通常稱為無窮小元素的求和法微元法。而則稱為無窮小元素微元。由於在力學和物理學的大部分問題中,通過問題的實際意義可以知道,所求量的函數是連續函數,因此微元法總是可以應用的。

註釋

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  1. ^ 微分形式的微積分基本定理: 若函數,則,且有.

參考資料

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  • 《微積分學教程》菲赫金哥爾茨編
  • 《數學分析》宋國柱等編
  • 《數學分析(第三版)》華東師範大學數學系編
  • 《高等數學(第六版)》同濟大學數學系編