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有限群表示论

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数学里,表示理论是以线性变换的群来分析一般抽象的一种技术。相关的介绍请见群表示,此条目则讨论含有有限个元素的群的表示理论。

表示论也在诸多领域上有应用,例如说:量子化学或是量子物理等等。除此之外,有限群表示论也常应用在代数上去检验群的结构,甚至在其他数学领域上,例如调和分析或是数论上,都是有应用的。

基本定义

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此条目中的所有线性变换都是有限维的,且除了有另外提起外,基域都假定为复数域G的表示是一个群同构 ρ:G → GL(n,C),由 G一般线性群 GL(n,C) 的映射。因此,要选定一个表示,则只要将群内的每个元素配定一个方阵,其中方阵的相乘和群元素间的运算会是一样的。

若矩阵是实数的,则称 ρ 是 G 的一个实表示。换句话说,

线性表示

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是一个在体上的向量空间同时是一个有限群。一个关于群线性表示是一个群同态这里的是指一般线性群而指的是自同构群。而向量空间则被称作是群的表示空间。我们会将向量空间的维度定义成一个线性表示的次数(英语:degree)。

置换表示

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另一种公式化

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表示 ρ: G → GL(n,C) 定义了 G 在向量空间 Cn 上的群作用,而且此一作用也可以完全决定 ρ 。因此,要选定一个表示,选定在表示的向量空间上的作用即已足够。

换言之,群 G 在复向量空间 V 上的作用可以推导出群代数 C[G] 在向量空间 V 上的左作用,反之亦然。因此,表示会等价于左 C[G]-模。

群代数 C[G]是一个在复数上,以 G 作用的 |G| 维代数。(参见彼德-外尔定理紧致群的例子。)而实际上, C[G]是 G×G 的一个表示。更具体地来说,若 g1g2G 的元素,且 hC[G] 中相对应至 Gh 的一个元素,则

(g1,g2)[h]=g1 h g2-1

C[G] 也可以以三种方式来做为 G 的表示:

  • 共轭: g[h] = g h g-1
  • 左作用: g[h] = g h正则表示
  • 右作用: g[h] = h g-1(同上)

这些都可以在 G×G 作用中被“找到”。

例子

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对许多的群而言,用矩阵来表示完全是一件很自然的事情。例如,一个二面体群 D4——正方形的对称,即可以两个镜射矩阵的表示来产生:

这里, m 是由 (x,y) 映射至 (− x,y) 的镜射,而 n 则是由 (x,y) 映射至 (y,x) 的镜射。这些矩阵的相乘一共可以产生构成此群的八个矩阵。如上所述,可以以矩阵来表示,或者也可以以在二维向量空间 (x,y) 上的作用来表示。

此一表示是“真实的”-亦即,在矩阵和群的元素之间是一对一对应的,因为不存在在群作用下不变的 (x,y) 的子空间。

表示间的态射

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子表示和不可约表示

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由旧表示建构新表示

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应用舒尔引理

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特征理论

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历史

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另见

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参考文献

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  • Fulton, William; and Harris, Joe. Representation Theory: A First Course. New York: Springer. 1991. ISBN 978-0-387-97495-8.  The standard graduate level reference for representations of groups in general.
  • James, Gordon; and Liebeck, Martin. Representations and Characters of Finite Groups. Cambridge: Cambridge University Press. 1993. ISBN 978-0-521-44590-0.  A beautiful and readable introduction; designed for self study.
  • Jean-Pierre, Serre. Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90190-9.  A very well-written introduction to stated topic: concise and extremely readable.