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狄利克雷函数

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狄利克雷函数(英语:Dirichlet function)是一个判别自变量是有理数还是无理数的函数。定义在实数范围上、值域函数,用 或者 表示。这是一个典型的处处不连续函数。该函数以德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷的名字命名。

狄利克雷函数是一个处处不连续的可测函数,其图像关于 轴成轴对称,是一个偶函数。它处处不连续、处处极限不存在、不可积分

在数学领域,这是一个病态函数。作为很多事情的反例,这个函数在任意一点都不存在极限,并且以任意有理数为周期的周期函数(有理数相加得有理数,无理数加有理数还是无理数)。该函数黎曼不可积,而在其它一些积分中是可积的。

定义

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实数域上,狄利克雷函数 定义为

  1. 自变量 有理数时,
  2. 自变量 无理数时,[1]

狄利克雷函数也可以表达为一个连续函数序列的双重点极限:

其中 为整数。

性质

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  • 定义在整个数轴上。
  • 无法画出图像。
  • 以任何正有理数为其周期(从而无最小正周期)。
  • 处处无极限、不连续、不可导
  • 在任何有界区间上黎曼不可积。另一方面也作为反例说明了对于黎曼积分,单调收敛定理不成立。
  • 是偶函数。
  • 它在 勒贝格可积

证明

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处处不连续

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  • 为有理数则 。为证明函数在 处不连续,问题转化为对任意 ,无论 多么小,在包含 的长度为 的区间内一点 。试取 ,由于无理数为实数域上的稠密集,无论 取何值,总有 满足 ,让
  • 为无理数,同理,因为有理数为实数域上的稠密集,无论 取何值,总有 满足 ,让

参考资料

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  1. ^ 同济大学数学系,“高等数学”第七版 上册,第九页 例10