狄利克雷函數

狄利克雷函數（英語：Dirichlet function）是一個判別自變量是有理數還是無理數的函數。定義在實數範圍上、值域為 $\{0,1\}$ 的函數，用 $D(x)$ 或者 $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)$ 表示。這是一個典型的處處不連續函數。該函數以德國數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷的名字命名。

狄利克雷函數是一個處處不連續的可測函數，其圖像關於 $y$ 軸成軸對稱，是一個偶函數。它處處不連續、處處極限不存在、不可積分。

在數學領域，這是一個病態函數。作為很多事情的反例，這個函數在任意一點都不存在極限，並且以任意有理數為周期的周期函數（有理數相加得有理數，無理數加有理數還是無理數）。該函數黎曼不可積，而在其它一些積分中是可積的。

定義

在實數域上，狄利克雷函數 $D(x)$ 定義為

1. 自變量 $x$ 為有理數時，$D(x)=1$；
2. 自變量 $x$ 為無理數時，$D(x)=0$。

狄利克雷函數也可以表達為一個連續函數序列的雙重點極限：

$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad D(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)$

其中 $k$ 和 $j$ 為整數。

性質

• 定義在整個數軸上。
• 無法畫出圖像。
• 以任何正有理數為其周期（從而無最小正周期）。
• 處處無極限、不連續、不可導。
• 在任何有界區間上黎曼不可積。另一方面也作為反例說明了對於黎曼積分，單調收斂定理不成立。
• 是偶函數。
• 它在 $[0,1]$ 上勒貝格可積。

證明

處處不連續

• 若 $y$ 為有理數則 $f(y)=1$。為證明函數在 $y$ 處不連續，問題轉化為對任意 $\varepsilon$，無論 $\delta$ 多麼小，在包含 $y$ 的長度為 $\delta$ 的區間內一點 $z$，$|f(z)-f(y)|\leq \varepsilon$。試取 $\varepsilon =1/2$，由於無理數為實數域上的稠密集，無論 $\delta$ 取何值，總有 $z$ 滿足 $f(z)=0$，讓 $|f(z)-f(y)|=1>\varepsilon =1/2$。

• 若 $y$ 為無理數，同理，因為有理數為實數域上的稠密集，無論 $\delta$ 取何值，總有 $z$ 滿足 $f(z)=1$，讓 $|f(z)-f(y)|=1>\varepsilon =1/2$。