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零态射

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范畴论中,零态射是一类特殊的态射,性质类似指向(或指出自)一个零对象的态射。

定义

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C为一个范畴f : XYC中的一个态射。如果对C中的任何对象W,都有g, h : WXfg = fh,则称f是一个常态射(或称左零态射)。对偶的,如果对C中的任何对象Z,都有g, h : YZgf = hf,则称f是一个余常态射(或称右零态射)。同时是一个常态射与余常态射时即为零态射

具零态射范畴一词代表对C中任两个对象A,B,存在一个固定的态射0AB : AB,且对任何C中的对象X, Y, Z与态射f : YZ, g : XY,需满足下方的交换图

态射0XY一定是零态射。

如果C是一个具零态射范畴,则0XY的搜集是唯一的。[1]

“零态射”和“具零态射范畴”之间的定义并不一致,但如果一个范畴中的每个hom类都有一个“零态射”,则它就会是一个“具零态射范畴”。

例子

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  • 群范畴(或模范畴)中的零态射是一个同态 f : GH,使得G的元素全部送到H单位元。群范畴中的零对象是平凡群 1 = {1},在同构下是唯一的。所有零态射都能用1分解,即f : G1H.
  • 整体来说,如果C有一个零对象0,则对所有对象XY存在一个唯一的态射列: 0XY : X0Y 用这种方式定义的态射会赋予C一个具零态射范畴的结构。
  • 如果C是一个预可加范畴,则任何hom类Hom(X,Y)都会是一个交换群,因此具有零元素。这些零元素作为零态射使得C成为一个具零态射范畴。
  • 集合范畴没有零对象,但有空集∅作为初对象。Set仅有的右零态射是从∅到集合X的函数。

相关概念

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如果一个范畴有零态射,则对每个态射都可以定义英语Kernel_(category_theory)余核

参考

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  • Section 1.7 of Pareigis, Bodo, Categories and functors, Pure and applied mathematics 39, Academic Press, 1970, ISBN 978-0-12-545150-5 
  • Herrlich, Horst; Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag, 2007 .

脚注

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  1. ^ Category with zero morphisms - Mathematics Stack Exchange. Math.stackexchange.com. 2015-01-17 [2016-03-30].