RL电路,全称电阻-电感电路(英语:Resistor-inductor circuit),或称RL滤波器、RL网络,是最简单的无限脉冲响应电子滤波器。它由一个电阻器、一个电感元件串联或并联组成,并由电压源驱动。[1]
最基本的被动线性元件为电阻器(R)、电容器(C)和电感元件(L)。这些元件可以被用来组成4种不同的电路:RC电路、RL电路、LC电路和RLC电路,这些名称都缘于各自所使用元件的英语缩写。它们体现了一些对于模拟电子技术来说很重要的性质。它们都可以被用作被动滤波器。本条目主要讲述RL电路串联、并联状态的情况。
在实际应用中通常使用电容器(以及RC电路)而非电感来构成滤波电路。这是因为电容更容易制造,且元件的尺寸普遍更小。
具有电感L(以亨利为单位)的电感元件的复阻抗ZL(以欧姆为单位)为[2]:
![{\displaystyle Z_{L}\ =\ Ls}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0de68f1c72cd9bbad9a61f3a4a297b07de818b1)
复频率s是一个复数,
![{\displaystyle s\ =\ \sigma +j\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0328a17962061ac2483463bf50d2ddee377e890d)
这里
![{\displaystyle j^{2}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92313d249fbdd831b4bd88b5786e0e15589aaef5)
为指数衰减常数(以每秒弧度为单位),且
为角频率(以每秒弧度为单位)
复数函数示性函数(Eigenfunctions)对所有线性时不变系统(linear time-invariant, LTI)有以下的形式:
,若令
,则可重写为
,合并复数指数后得到![{\displaystyle \ =\ Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b84e0bcb9ac727e1c3c5da6aefc41e51841ad3)
通过复数的欧拉公式,示性函数的实部为指数衰减的正弦值:
![{\displaystyle v(t)\ =\ \mathrm {Re} \left\{V(t)\right\}\ =\ Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa5a0b6bd742eabfd5f955793c8b44f5d5e2752)
正弦稳定状态是当输入电压仅包含纯的正弦信号的特殊情况,即不存在指数衰减。因此[3]:
![{\displaystyle \sigma \ =\ 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c62babfd3407ba8d1a3dfd2d3cc40b0f58f1d6f)
且s的值变为:
![{\displaystyle s\ =\ j\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d02487a053fe790c3308882ef95974f9455459e)
RL电路的串联形式
如果把整个RL电路看做一个按阻抗进行分压[2]的系统,则电感元件“分得”的电压为:
![{\displaystyle V_{L}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V_{in}(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a805095dc55e1673e81424f338bbdd6fe0a5a59)
电阻器“分得”的电压为:
.
由于是串联电路,因此电路处处电流相等,且为:
.
电感元件的传递函数为:
![{\displaystyle H_{L}(s)={V_{L}(s) \over V_{in}(s)}={Ls \over R+Ls}=G_{L}e^{j\phi _{L}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f0e537d9a31ae2d278c214170e71116ec671de)
类似的,电阻器的传递函数为:
![{\displaystyle H_{R}(s)={V_{R}(s) \over V_{in}(s)}={R \over R+Ls}=G_{R}e^{j\phi _{R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52de138947ae027e429ad1d23a514866ce739c5)
两个传输函数都有一个极点位于:
![{\displaystyle s=-{R \over L}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1feb2a0e1e3c30dcd740f390935acbc7ec5ff6c1)
另外,电感元件在原点处有一个零点。
通过代入上面的表达式,可以求得两个组件的增益为:
![{\displaystyle G_{L}=|H_{L}(s)|=\left|{\frac {V_{L}(s)}{V_{in}(s)}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e3f16836fca0f2d761e9e6ed72cece233565da)
且
,
相位为:
![{\displaystyle \phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208b14a2a3d60b4130440b3a5cab71a8c6d6fafe)
且
.
通常用相量代替上面的式子来表达输出[2]:
![{\displaystyle V_{L}=G_{L}V_{in}e^{j\phi _{L}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac49aadf26d387e064532780f6e8cc54f62bf98f)
.
每一种电压的冲激响应是对应传输函数的反拉普拉斯变换。它代表电路对于包含脉冲或狄拉克δ函数的输入电压的响应。
电感元件电压的响应为:
![{\displaystyle h_{L}(t)=\delta (t)-{R \over L}e^{-tR/L}u(t)=\delta (t)-{1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b321fba64ca201abae03134ce9570f8063c86e84)
这里u(t)是单位阶跃函数且
为时间常数。
类似的,电阻器电压的响应为:
![{\displaystyle h_{R}(t)={R \over L}e^{-tR/L}u(t)={1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44aa619cb6c5b7543b21636fc922ab714f7811e)
RL电路的零输入响应(Zero input response, ZIR)描述了电路在不连接输入信号源的情况下、达到稳定电压和电流时的工作状态。[4]因为它没有外接输入信号,因此得名。
一个RL电路的零输入响应为:
.
其中
是时间常数。
RL电路的并联形式
除非连接到电流源,RL电路的并联形式很少引起人们的兴趣。这主要是因为输出电压
等于输入电压
,这样,整个电路并未能充当一个电压信号的滤波器。
复阻抗为:
![{\displaystyle I_{R}={\frac {V_{in}}{R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666d0dc3f4d2551c9c94f60fd4ab084f2df1bbcb)
且
.
这表明电感元件在相位上落后电阻器(以及输入信号)90度。
RL电路的并联形式经常在放大器电路的输出级上,使放大器与负载隔离。由于电容器引入的相移,有些放大器在高频的情况会变得不稳定,容易产生振荡。这会影响电器功能(例如音响的音效品质)和其使用寿命(特别是对晶体管来说),所以应当尽量避免。