九点圆
九点圆定理指出：在平面中，对所有三角形，其三边的中点、三高的垂足、顶点到垂心的三条线段的中点，必然共圆，这个圆被称为九点圆，又称欧拉圆、费尔巴哈圆。
九点圆具有以下性质：
1765年，莱昂哈德·欧拉证明：“垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圆（六点圆）。”许多人误以为九点圆是由欧拉发现所以又称乎此圆为欧拉圆。而第一个证明九点圆的人是彭赛列（1821年）。1822年，卡尔·威廉·费尔巴哈也发现了九点圆，并得出“九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切”，因此德国人称此圆为费尔巴哈圆，并称这四个切点为费尔巴哈点。柯立芝与大上茂乔（Shigetaka Ooue）[1]分别于1910年与1916年发表“圆周上四点任取三点做三角形，四个三角形的九点圆圆心共圆。”这个圆还被称为四边形的九点圆，此结果还可推广到n边形。
如图：
、
、
为三边的中点，
、
、
为垂足，
、
、
为和顶点到垂心的三条线段的中点。
- 容易得出
、
（
相似）
- 因此
- 同样可得出
、
（相似）
- 因此
- 又
，可得出四边形
是矩形（四点共圆）
- 同理可证
也是矩形（
共圆）
，因此可知也在圆上（圆周角相等）
- 同理可证、两点也在圆上（九点共圆）
九点圆的半径是外接圆的一半，且九点圆平分垂心与外接圆上的任一点的连线。
- 在直角坐标系中，已知圆的方程为
，其中
为圆的半径，
为圆的圆心坐标。若做圆上三点与点
的中点的轨迹，则此轨迹的方程式为：
- 设为外接圆的半径、为外接圆的圆心坐标、点为垂心坐标。
- 已知九点圆通过顶点到垂心的三条线段的中点，故此轨迹圆就是九点圆，半径是外接圆的一半，且平分垂心与外接圆上的任一点的连线。
- 同时还可以得出下面的性质：
- 圆心在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点。由此可知，给定三角形顶点座标，九点圆圆心为
- 圆周上四点任取三点做三角形，四个三角形的九点圆圆心共圆。
- 垂心四面体的12点共球九点圆是垂心四面体各棱的中点和垂足（相对于对棱）共球的特例，两者是同构的
- 主旁心三角形的九点圆是三角形的外接圆
- 中点三角形的外接圆是三角形的九点圆
- 三线坐标中，九点圆的座标为
- 三线坐标中，费尔巴哈点的座标为
