中线

图中$\triangle ABC$和中线$AD$

中线或重线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段。三角形的三条中线总是相交于同一点，这个点称为三角形的重心。

性质1

任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。

证明

考虑三角形 $ABC$。设$D$为${\overline {AB}}$的中点，$E$为${\overline {BC}}$的中点，$F$为${\overline {AC}}$的中点，$O$为重心。

根据定义，$AD=DB,AF=FC,BE=EC$，因此$[ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]$，其中$[ABC]$表示三角形ABC的面积。

我们有：

$[ABO]=[ABE]-[BEO]$

$[ACO]=[ACE]-[CEO]$

因此，$[ABO]=[ACO]$且$[ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]$。

由于$[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$，所以$[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]$。 同理，也可以证明$[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]$。

性质2

在 $\triangle ABC$ 中，连接角 $A$ 的中线记为$m_{a}$，连接角 $B$ 的中线记为$m_{b}$，连接角 $C$ 的中线记为$m_{c}$，它们长度的公式为：

$m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}$

$m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(c^{2}+a^{2})-b^{2}}}$

$m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}$

证明

在 $\triangle ABD$ 中，$AD=m_{a}$

$(m_{a})^{2}=(AB)^{2}+(BD)^{2}-2(AB)(BD)\cos \angle ABD$（馀弦定理）

以 $a$, $b$, $c$ 表示$\cos \angle ABD$

$i.e.\ \cos \angle ABD={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}$ & $BD={\frac {a}{2}}$

把以上两等式代入原式，

$i.e.\ (m_{a})^{2}=(c)^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}-2(c)({\frac {a}{2}}){\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}$

$=(c)^{2}+({\frac {a^{2}}{4}})-({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}})$

$={\frac {4c^{2}+a^{2}-2c^{2}-2a^{2}+2b^{2}}{4}}$

$={\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}$

∴$m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}$

同理，可证得其他二式

Q.E.D.

参见

• 中线定理
• 角平分线长公式