中線

圖中$\triangle ABC$和中線$AD$

中線或重線是三角形中從某邊的中點連向對角的頂點的線段。三角形的三條中線總是相交於同一點，這個點稱為三角形的重心。

性質1

任意三角形的三條中線把三角形分成面積相等的六個部分。中線都把三角形分成面積相等的兩個部分。除此之外，任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。

證明

考慮三角形 $ABC$。設$D$為${\overline {AB}}$的中點，$E$為${\overline {BC}}$的中點，$F$為${\overline {AC}}$的中點，$O$為重心。

根據定義，$AD=DB,AF=FC,BE=EC$，因此$[ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]$，其中$[ABC]$表示三角形ABC的面積。

我們有：

$[ABO]=[ABE]-[BEO]$

$[ACO]=[ACE]-[CEO]$

因此，$[ABO]=[ACO]$且$[ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]$。

由於$[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$，所以$[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]$。 同理，也可以證明$[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]$。

性質2

在 $\triangle ABC$ 中，連接角 $A$ 的中線記為$m_{a}$，連接角 $B$ 的中線記為$m_{b}$，連接角 $C$ 的中線記為$m_{c}$，它們長度的公式為：

$m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}$

$m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(c^{2}+a^{2})-b^{2}}}$

$m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}$

證明

在 $\triangle ABD$ 中，$AD=m_{a}$

$(m_{a})^{2}=(AB)^{2}+(BD)^{2}-2(AB)(BD)\cos \angle ABD$（餘弦定理）

以 $a$, $b$, $c$ 表示$\cos \angle ABD$

$i.e.\ \cos \angle ABD={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}$ & $BD={\frac {a}{2}}$

把以上兩等式代入原式，

$i.e.\ (m_{a})^{2}=(c)^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}-2(c)({\frac {a}{2}}){\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}$

$=(c)^{2}+({\frac {a^{2}}{4}})-({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}})$

$={\frac {4c^{2}+a^{2}-2c^{2}-2a^{2}+2b^{2}}{4}}$

$={\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}$

∴$m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}$

同理，可證得其他二式

Q.E.D.

參見

• 中線定理
• 角平分線長公式