伪内切圆

三角形$ABC$内关于顶点$A$的伪内切圆

几何学中，三角形的伪内切圆是内切于三角形两条边和其外接圆的一个圆。与顶点$A$的两条边相切的伪内切圆称为“关于点$A$的伪内切圆”、“$A$所对的伪内切圆”或“$A$-伪内切圆”。

关于三角形的每个顶点都有唯一的伪内切圆。

存在性及唯一性的证明

关于点$A$的旁切圆是唯一的。

定义$\Phi$为以下两个几何变换的复合：先以$A$点为圆心，${\sqrt {AB\cdot AC}}$为半径作反演变换；再关于角$A$的平分线作对称变换。由于反演变换和对称变换都为双射且变换前后保留交点的性质，$\Phi$也有对应的性质。

$A$点的旁切圆经$\Phi$变换后的图像为内切于$AB$、$AC$，以及$ABC$外接圆的一个圆，即关于点$A$的伪内切圆。因此关于点$A$的伪内切圆唯一确定。类似地，关于点$B$及点$C$的伪切圆也唯一确定。

其他性质

半径

以下公式说明了三角形内切圆半径 $r$ 和$A$-伪内切圆半径 $\rho _{A}$ 的关系：

$$r=\rho _{A}\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$$

其中 $\alpha$ 是角$A$的大小。

与伪内切圆在三角形边上的切点有关的性质

三角形内心$I$为伪内切圆与三角形其中两边的切点$D$和$E$组成线段的中点。

$T_{A}D$和$T_{A}E$与圆$(ABC)$除$T_{A}$的交点分别为弧${\overset {\frown }{AB}}$和${\overset {\frown }{AC}}$的中点。

跟伪内切圆与三角形外接圆切点有关的圆

$T_{A}BDI$ 和 $T_{A}CEI$ 为圆内接四边形。

$T_{A}I$与圆$(ABC)$除$T_{A}$的交点为弧${\overset {\frown }{BAC}}$的中点。

参看

• 三角学
• 内切圆

外部链结

• 埃里克·韦斯坦因. Mixtilinear Incircles. MathWorld.