克拉克森不等式

数学的克拉克森不等式是L^p空间上的一个结果，用两个可测函数的L^p范数，来表示它们的和及差的L^p范数的上界。这不等式是平行四边形恒等式的一个推广。

不等式叙述[编辑]

设 $(X,\Sigma ,\mu )$ 是测度空间， $f,g:X\to \mathbb {R}$ 是在 $L^{p}(X)$ 空间内的可测函数。当 $2\leq p<+\infty$ 时，有

\left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f\|_{L^{p}}^{p}+\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)

；

当 $1<p<2$ 时，有

\left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}\leq \left({\frac {1}{2}}\|f\|_{L^{p}}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {q}{p}}

，

其中 ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ ，即 $q={\frac {p}{p-1}}$ 。

$p>2$ 的情形较易证明，可以简单地用三角不等式和函数

x\mapsto x^{p}

的凸性证出。