克拉克森不等式

數學的克拉克森不等式是L^p空間上的一個結果，用兩個可測函數的L^p範數，來表示它們的和及差的L^p範數的上界。這不等式是平行四邊形恆等式的一個推廣。

不等式敘述[編輯]

設 $(X,\Sigma ,\mu )$ 是測度空間， $f,g:X\to \mathbb {R}$ 是在 $L^{p}(X)$ 空間內的可測函數。當 $2\leq p<+\infty$ 時，有

\left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f\|_{L^{p}}^{p}+\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)

；

當 $1<p<2$ 時，有

\left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}\leq \left({\frac {1}{2}}\|f\|_{L^{p}}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {q}{p}}

，

其中 ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ ，即 $q={\frac {p}{p-1}}$ 。

$p>2$ 的情形較易證明，可以簡單地用三角不等式和函數

x\mapsto x^{p}

的凸性證出。