凸优化
外观
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凸函数最优化,或叫做凸最优化,凸最小化,是数学最优化的一个子领域,研究定义于凸集中的凸函数最小化的问题。凸最佳化在某种意义上说较一般情形的数学最佳化问题要简单,譬如在凸最佳化中局部最佳值必定是全局最佳值。凸函数的凸性使得凸分析中的有力工具在最佳化问题中得以应用,如次导数等。
凸最佳化应用于很多学科领域,诸如自动控制系统,信号处理,通讯和网络,电子电路设计,数据分析和建模,统计学(最佳化设计),以及金融。在近来运算能力提高和最佳化理论发展的背景下,一般的凸最佳化已经接近简单的线性规划一样直捷易行。许多最佳化问题都可以转化成凸最佳化(凸最小化)问题。
定义
[编辑]令为一凸集,且为一凸函数。凸最佳化就是要找出一点,使得每一满足。[1][2]在最佳化理论中,称为可行域,称为目标函数,称为全局最优值,或全域最佳解。
或者可以表示为下面的标准型:
其中 为凸函数。[3]
举例
[编辑]以下问题都是凸最佳化问题,或可以通过改变变量而转化为凸最佳化问题:[4]
方法
[编辑]凸最佳化(凸最小化)问题可以用以下几种方法求解:
脚注
[编辑]- ^ Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude. Convex analysis and minimization algorithms: Fundamentals. 1996: 291 [2013-09-25]. (原始内容存档于2013-09-29).
- ^ Ben-Tal, Aharon; Nemirovskiĭ, Arkadiĭ Semenovich. Lectures on modern convex optimization: analysis, algorithms, and engineering applications. 2001: 335–336 [2013-09-25]. (原始内容存档于2013-09-29).
- ^ Boyd/Vandenberghe, p. 7
- ^ For methods for convex minimization, see the volumes by Hiriart-Urruty and Lemaréchal (bundle) and the textbooks by Ruszczyński and Boyd and Vandenberghe (interior point).
参考资料
[编辑]- Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven. Convex Optimization (pdf). Cambridge University Press. 2004 [October 15, 2011]. ISBN 978-0-521-83378-3. (原始内容存档 (PDF)于2017-07-13).
- Ruszczyński, Andrzej. Nonlinear Optimization. Princeton University Press. 2006.