凸優化

凸函數最佳化，或叫做凸最佳化，凸最小化，是數學最佳化的一個子領域，研究定義於凸集中的凸函數最小化的問題。凸最佳化在某種意義上說較一般情形的數學最佳化問題要簡單，譬如在凸最佳化中局部最佳值必定是全域最佳值。凸函數的凸性使得凸分析中的有力工具在最佳化問題中得以應用，如次導數等。

凸最佳化應用於很多學科領域，諸如自動控制系統，訊號處理，通訊和網路，電子電路設計，數據分析和建模，統計學（最佳化設計），以及金融。在近來運算能力提高和最佳化理論發展的背景下，一般的凸最佳化已經接近簡單的線性規劃一樣直捷易行。許多最佳化問題都可以轉化成凸最佳化（凸最小化）問題。

定義

令${\mathcal {X}}\subset \mathbb {R} ^{n}$為一凸集，且$f:{\mathcal {X}}\to \mathbb {R}$為一凸函數。凸最佳化就是要找出一點$x^{\ast }\in {\mathcal {X}}$，使得每一$x\in {\mathcal {X}}$滿足$f(x^{\ast })\leq f(x)$。在最佳化理論中，${\mathcal {X}}$稱為可行域，$f$稱為目標函數，$x^{\ast }$稱為全域最優值，或全域最佳解。

或者可以表示為下面的標準型：

${\begin{aligned}&\operatorname {min} &&f(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&g_{i}(x)\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\end{aligned}}$

其中 $f,g_{1}\ldots g_{m}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ 為凸函數。

舉例

以下問題都是凸最佳化問題，或可以通過改變變數而轉化為凸最佳化問題：

• 最小平方
• 線性規劃
• 線性約束的二次規劃
• 半正定規劃
• 二階錐規劃

方法

凸最佳化（凸最小化）問題可以用以下幾種方法求解：

• 捆集法
• 次梯度法
• 內點法

參考資料

• Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven. Convex Optimization (pdf). Cambridge University Press. 2004 [October 15, 2011]. ISBN 978-0-521-83378-3. （原始內容存檔 (PDF)於2017-07-13）. 

• Ruszczyński, Andrzej. Nonlinear Optimization. Princeton University Press. 2006.