凸优化

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凸优化,或叫做凸最优化凸最小化,是数学最优化的一个子领域,研究定义于凸集中的凸函数最小化的问题。凸优化在某种意义上说较一般情形的数学最优化问题要简单,譬如在凸优化中局部最优值必定是全局最优值。凸函数的凸性使得凸分析中的有力工具在最优化问题中得以应用,如次导数等。

凸优化应用于很多学科领域,诸如自动控制系统,信号处理,通讯和网络,电子电路设计,数据分析和建模,统计学(最优化设计),以及金融。在近来运算能力提高和最优化理论发展的背景下,一般的凸优化已经接近简单的线性规划一样直捷易行。许多最优化问题都可以转化成凸优化(凸最小化)问题,例如求凹函数f最大值的问题就等同于求凸函数 -f最小值的问题。

定义[编辑]

为一凸集,且为一凸函数。凸优化就是要找出一点,使得每一满足[1][2]在最佳化理论中,称为可行域称为目标函数称为全局最优值,或全域最佳解[3]

或者可以表示为下面的标准型:

其中 为凸函数。[4]

举例[编辑]

以下问题都是凸优化问题,或可以通过改变变量而转化为凸优化问题:[5]

方法[编辑]

凸优化(凸最小化)问题可以用以下几种方法求解:

凸最大化[编辑]

通常凸优化的定义要求目标函数f在可行域内被最小化,而在某些的线性规划问题中也会研究最大化。

脚注[编辑]

  1. ^ Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude. Convex analysis and minimization algorithms: Fundamentals. 1996: 291. 
  2. ^ Ben-Tal, Aharon; Nemirovskiĭ, Arkadiĭ Semenovich. Lectures on modern convex optimization: analysis, algorithms, and engineering applications. 2001: 335–336. 
  3. ^ 凸优化──凸函数的最小化. 线代启示录. 2013-08-28 [2013-09-25]. 
  4. ^ Boyd/Vandenberghe, p. 7
  5. ^ For methods for convex minimization, see the volumes by Hiriart-Urruty and Lemaréchal (bundle) and the textbooks by Ruszczyński and Boyd and Vandenberghe (interior point).

参考资料[编辑]

  • Ruszczyński, Andrzej. Nonlinear Optimization. Princeton University Press. 2006.