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帕普斯定理

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帕普斯定理

设U,V,W,X,Y和Z为平面上6条直线。如果:
(1)U与V的交点,X与W的交点,Y与Z的交点共线,且
(2)U与Z的交点,X与V的交点,Y与W的交点共线,
则一定有(3)U与W的交点,X与Z的交点,Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯六角形定理(英语:Pappus's hexagon theorem)。

也就是说,
如果

这个定理是帕斯卡定理的一个特例,当这个圆锥曲线退化成两条直线的时候。

证明

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我们需要证明如果 = 0且 = 0,则 = 0。

第一步

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利用恒等式

可将表述为以下形式:

第二步

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利用恒等式

可得

以及

第三步

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利用数量积的分配律,可得:

第四步

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利用恒等式

可得:

第五步

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把这些等式相加,得:

因此,如果 = 0且 = 0,则 = 0。

证毕。

参见

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