帕普斯定理

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帕普斯定理

設U,V,W,X,Y和Z為平面上6條直線。如果:
(1)U與V的交點,X與W的交點,Y與Z的交點共線,且
(2)U與Z的交點,X與V的交點,Y與W的交點共線,
則一定有(3)U與W的交點,X與Z的交點,Y與V的交點共線。這個定理叫做帕普斯六角形定理(英語:Pappus's hexagon theorem)。

也就是說,
如果

這個定理是帕斯卡定理的一個特例,當這個圓錐曲線退化成兩條直線的時候。

證明[編輯]

我們需要證明如果 = 0且 = 0,則 = 0。

第一步[編輯]

利用恆等式

可將表述為以下形式:

第二步[編輯]

利用恆等式

可得

以及

第三步[編輯]

利用數量積的分配律,可得:

第四步[編輯]

利用恆等式

可得:

第五步[編輯]

把這些等式相加,得:

因此,如果 = 0且 = 0,則 = 0。

證畢。

參見[編輯]