度规函数 是数学 凸分析 的一个重要函数。设
E
{\displaystyle E}
为
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
或
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
上的向量空间 ,有需要时可以假设为拓扑向量空间 。设
C
{\displaystyle C}
为在
E
{\displaystyle E}
内的凸集,且包含原点。那么
C
{\displaystyle C}
的度规函数
p
{\displaystyle p}
是从
E
{\displaystyle E}
到
R
∪
{
+
∞
}
{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
的函数,定义为
p
(
x
)
=
inf
{
λ
>
0
∣
x
∈
λ
C
}
{\displaystyle p(x)=\inf \,\{\lambda >0\,\mid \,x\in \lambda C\}}
,
如果
C
{\displaystyle C}
为空集 ,定义
p
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle p(x)=+\infty }
。
从定义立刻得到以下结果,可以进一步说明度规函数:
{
x
∣
p
(
x
)
<
1
}
⊂
C
⊂
{
x
∣
p
(
x
)
≤
1
}
{\displaystyle \{x\,\mid \,p(x)<1\}\subset C\subset \{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}}
若
C
{\displaystyle C}
是在
E
{\displaystyle E}
中的开集 ,那么
C
=
{
x
∣
p
(
x
)
<
1
}
{\displaystyle C=\{x\,\mid \,p(x)<1\}}
;
若
C
{\displaystyle C}
是在
E
{\displaystyle E}
中的闭集 ,那么
C
=
{
x
∣
p
(
x
)
≤
1
}
{\displaystyle C=\{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}}
。
度规函数符合次加性 ,因此是凸函数 。
包含
0
{\displaystyle 0}
的凸集
C
{\displaystyle C}
的度规函数不取
+
∞
{\displaystyle +\infty }
,当且仅当
C
{\displaystyle C}
是吸收的 。
同样地可立刻看出这条件当
0
{\displaystyle 0}
是
C
{\displaystyle C}
的内点 时成立。易证逆命题在有限维时成立:简洁做法是看到
p
{\displaystyle p}
既是有限值和处处定义的凸函数,因而
p
{\displaystyle p}
连续,故此
{
x
∣
p
(
x
)
<
1
}
{\displaystyle \{x\,\mid \,p(x)<1\}}
包含在
C
{\displaystyle C}
内且是
0
{\displaystyle 0}
的邻域。
当
0
{\displaystyle 0}
是在
C
{\displaystyle C}
的内部时,可以想像这样一幅图画:函数取值1的点正好是凸集
C
{\displaystyle C}
的边界 ,其他正数值的水平面是其位似形。如果有不在任一个水平面上的点,函数在该点取值为
0
{\displaystyle 0}
。
最后再补充一点。在实向量空间时,
C
{\displaystyle C}
相对
0
{\displaystyle 0}
点对称,其度规函数避开
+
∞
{\displaystyle +\infty }
值,这度规函数便是半范数 ;在复向量空间也有同样结论,只需把对称的定义,修改为与任何模为1的复数相乘都不变。
从定义看出度规函数在原点外一点
x
0
{\displaystyle x_{0}}
取
0
{\displaystyle 0}
值,当且仅当从原点过
x
0
{\displaystyle x_{0}}
的射线包含在凸集内。
因此立刻可知在赋范向量空间 内,有界凸集的度规函数不在原点外取
0
{\displaystyle 0}
值。
逆命题对有限维空间内的闭凸集成立,用半径为1的球面的紧致性 证明。
设
C
{\displaystyle C}
为在有限维空间内包含
0
{\displaystyle 0}
的闭凸集。
C
{\displaystyle C}
有界 当且仅当其度规函数除原点外不取
0
{\displaystyle 0}
值。
在凸集 的几何中,度规函数是有用的工具,能把纯几何问题(研究超平面 ),转变成纯分析问题(研究超平面的方程)。在凸集分离 和支撑超平面 理论的一个基础结果,就是哈恩-巴拿赫定理 的几何形式,其中的证明关键,在观察到对适合方程
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1}
的超平面,要求超平面避开给定包含原点的开凸集,与要求函数
f
{\displaystyle f}
和凸集的度规函数
p
{\displaystyle p}
适合不定方程
p
≤
f
{\displaystyle p\leq f}
是相同的。
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty and Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis , coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001, ISBN 3540422056 , p. 128-130