广义多项式韦格纳频谱图

广义多项式韦格纳频谱图（generalized polynomial Wigner spectrogram），是一种用于时频分析的方法，属于信号处理的范畴。一个好的时频分析讲求在频谱图上要有高的解析度，并且不能有相交项(cross term)，才能得到准确的瞬时频率，但这两点之间常须进行取舍。韦格纳分布虽然解析度较高，但在许多情况下会有相交项，例如瞬时频率为高阶指数函数时或多组件时；在瞬时频率为高阶指数函数时多项式韦格纳分布除了能保有高解析度之外还能消除相交项，但在多组件情况下的相交项仍然存在；加伯转换没有相交项，但解析度较低，广义频谱图虽然强化了加伯转换的解析度，但仍比韦格纳分布来得模糊。

广义多项式韦格纳频谱图透过结合广义频谱图与多项式韦格纳分布的优点，来达到同时高解析度与没有相交项的目标。

原理

韦格纳分布

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau$$=\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\eta /2)\cdot X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\cdot d\eta$

多项式韦格纳分布

在$x(t)=\exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n})$时，

$PWVD_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )\ e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }[\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau$

透过设定$d_{\ell }$使下式成立，

$\exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )=\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )$

即可得到，

$PWVD_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )d\tau \cong \delta (f-\sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )$

亦即$x(t)$的瞬时频率。

加伯转换

${G_{x,{w}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{w\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }$

亦即使用高斯函数做为短时距傅立叶转换的窗函数。

广义频谱图

$S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=G_{x,{w_{1}}}(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{*}(t,f)$

其中$w_{1}(t),\ w_{2}(t)$为两个不同的窗函数，

${G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }$

${G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }$

若$w_{1}(t)=w_{2}(t)$，则为一般频谱图。

不过根据测不准原理，较窄的窗函数，时间解析度较好，而频率解析度较差；相反的，较宽的窗函数，频率解析度较好，而时间解析度较差。

因此若两个窗函数一个较窄一个较宽，加伯转换后会得到解析度分别在时域与频域较好的两个频谱图，再透过相乘即可得到解析度在时频两域均好的频谱图。

广义多项式韦格纳频谱图

$C_{x}(t,f)=p\left(SP_{x}(t,f),\ |PWVD_{x}(t,f)|\right)$，其中$p(x,y)$可以是任何输入两个变数的函数。

如果在$\min(x,y)=0$时$p(x,y)=0$，即可达到去除相交项的同时保有高解析度的特性。

例如：

• $p(x,y)=xy$，$C_{x}(t,f)=SP_{x}(t,f)|PWVD_{x}(t,f)|$ 由于多项式韦格纳分布会有相交项，透过相乘，相交项$PWVD_{x}(t,f)\neq 0$会因为$SP_{x}(t,f)=0$而消掉； 因为广义频谱图解析度较低，在瞬时频率附近的频率$SP_{x}(t,f)\neq 0$，但对于解析度较高的多项式韦格纳分布来说$PWVD_{x}(t,f)\simeq 0$，因此相乘后$C_{x}(t,f)\simeq 0$提高解析度。 其他类似变型有：
  • $p(x,y)=x^{\alpha }y^{\beta }$，$C_{x}(t,f)=SP_{x}^{\alpha }(t,f)|PWVD_{x}^{\beta }(t,f)|$
  • 也可以加个阈，$C_{x}(t,f)=thr[SP_{x}^{\alpha }(t,f)]|PWVD_{x}^{\beta }(t,f)|$， 其中$thr(x)={\begin{cases}x-\Delta &,x>\Delta \\0&,x\leq \Delta \end{cases}}$，阈值$\Delta$可自行设定任意值
• $C_{x}(t,f)=\min\{A_{1}SP_{x}(t,f),\ A_{2}|PWVD_{x}(t,f)|\}$
• $C_{x}(t,f)=SP_{x}^{\alpha }(t,f)|PWVD_{x}^{\beta }(t,f)|\cdot \{[SP_{x}(t,f)>\Delta _{1}]\&[|PWVD_{x}(t,f)|>\Delta _{2}]\}$

优缺点比较

比较各种时频分析方法的优缺点

时频分析方法	时域高解析度	频域高解析度	在瞬时频率为高阶指数函数时 避免交叉项	多组件时 避免交叉项
短时距傅立叶转换（窄窗函数）	Δ	Χ	Ο	Ο
短时距傅立叶转换（宽窗函数）	Χ	Δ	Ο	Ο
广义频谱图	Δ	Δ	Ο	Ο
韦格纳分布	Ο	Ο	Χ	Χ
科恩系列分布	Ο	Ο	Δ	Δ
多项式韦格纳分布	Ο	Ο	Ο	Χ
广义多项式韦格纳频谱图	Ο	Ο	Ο	Ο

参考资料

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.