廣義多項式韋格納頻譜圖

廣義多項式韋格納頻譜圖（generalized polynomial Wigner spectrogram），是一種用於時頻分析的方法，屬於信號處理的範疇。一個好的時頻分析講求在頻譜圖上要有高的解像度，並且不能有相交項(cross term)，才能得到準確的瞬時頻率，但這兩點之間常須進行取捨。韋格納分佈雖然解像度較高，但在許多情況下會有相交項，例如瞬時頻率為高階指數函數時或多組件時；在瞬時頻率為高階指數函數時多項式韋格納分佈除了能保有高解像度之外還能消除相交項，但在多組件情況下的相交項仍然存在；加伯轉換沒有相交項，但解像度較低，廣義頻譜圖雖然強化了加伯轉換的解像度，但仍比韋格納分佈來得模糊。

廣義多項式韋格納頻譜圖透過結合廣義頻譜圖與多項式韋格納分佈的優點，來達到同時高解像度與沒有相交項的目標。

原理

韋格納分佈

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau$$=\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\eta /2)\cdot X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\cdot d\eta$

多項式韋格納分佈

在$x(t)=\exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n})$時，

$PWVD_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )\ e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }[\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau$

透過設定$d_{\ell }$使下式成立，

$\exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )=\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )$

即可得到，

$PWVD_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )d\tau \cong \delta (f-\sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )$

亦即$x(t)$的瞬時頻率。

加伯轉換

${G_{x,{w}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{w\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }$

亦即使用高斯函數做為短時距傅立葉轉換的窗函數。

廣義頻譜圖

$S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=G_{x,{w_{1}}}(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{*}(t,f)$

其中$w_{1}(t),\ w_{2}(t)$為兩個不同的窗函數，

${G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }$

${G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }$

若$w_{1}(t)=w_{2}(t)$，則為一般頻譜圖。

不過根據測不準原理，較窄的窗函數，時間解像度較好，而頻率解像度較差；相反的，較寬的窗函數，頻率解像度較好，而時間解像度較差。

因此若兩個窗函數一個較窄一個較寬，加伯轉換後會得到解像度分別在時域與頻域較好的兩個頻譜圖，再透過相乘即可得到解像度在時頻兩域均好的頻譜圖。

廣義多項式韋格納頻譜圖

$C_{x}(t,f)=p\left(SP_{x}(t,f),\ |PWVD_{x}(t,f)|\right)$，其中$p(x,y)$可以是任何輸入兩個變數的函數。

如果在$\min(x,y)=0$時$p(x,y)=0$，即可達到去除相交項的同時保有高解像度的特性。

例如：

• $p(x,y)=xy$，$C_{x}(t,f)=SP_{x}(t,f)|PWVD_{x}(t,f)|$ 由於多項式韋格納分佈會有相交項，透過相乘，相交項$PWVD_{x}(t,f)\neq 0$會因為$SP_{x}(t,f)=0$而消掉； 因為廣義頻譜圖解像度較低，在瞬時頻率附近的頻率$SP_{x}(t,f)\neq 0$，但對於解像度較高的多項式韋格納分佈來說$PWVD_{x}(t,f)\simeq 0$，因此相乘後$C_{x}(t,f)\simeq 0$提高解像度。 其他類似變型有：
  • $p(x,y)=x^{\alpha }y^{\beta }$，$C_{x}(t,f)=SP_{x}^{\alpha }(t,f)|PWVD_{x}^{\beta }(t,f)|$
  • 也可以加個閾，$C_{x}(t,f)=thr[SP_{x}^{\alpha }(t,f)]|PWVD_{x}^{\beta }(t,f)|$， 其中$thr(x)={\begin{cases}x-\Delta &,x>\Delta \\0&,x\leq \Delta \end{cases}}$，閾值$\Delta$可自行設定任意值
• $C_{x}(t,f)=\min\{A_{1}SP_{x}(t,f),\ A_{2}|PWVD_{x}(t,f)|\}$
• $C_{x}(t,f)=SP_{x}^{\alpha }(t,f)|PWVD_{x}^{\beta }(t,f)|\cdot \{[SP_{x}(t,f)>\Delta _{1}]\&[|PWVD_{x}(t,f)|>\Delta _{2}]\}$

優缺點比較

比較各種時頻分析方法的優缺點

時頻分析方法	時域高解像度	頻域高解像度	在瞬時頻率為高階指數函數時 避免交叉項	多組件時 避免交叉項
短時距傅立葉轉換（窄窗函數）	Δ	Χ	Ο	Ο
短時距傅立葉轉換（寬窗函數）	Χ	Δ	Ο	Ο
廣義頻譜圖	Δ	Δ	Ο	Ο
韋格納分佈	Ο	Ο	Χ	Χ
科恩系列分佈	Ο	Ο	Δ	Δ
多項式韋格納分佈	Ο	Ο	Ο	Χ
廣義多項式韋格納頻譜圖	Ο	Ο	Ο	Ο

參考資料

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.