格林恒等式

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格林恒等式Green's identities)乃是向量分析的一组共三条恒等式,以发现格林定理的英国数学家乔治·格林命名。

格林第一恒等式[编辑]

设定向量场;其中,在的某区域内,是二次连续可微标量函数,是一次连续可微标量函数,则从散度定理

可以推导出格林第一恒等式[1]

其中,是区域的边界,是取于边界面法向导数,即

格林第二恒等式[编辑]

假若在区域内,都是二次连续可微,则可交换,从的格林第一恒等式得到的格林第一恒等式。将这两个恒等式相减,则可得到格林第二恒等式:

格林第三恒等式[编辑]

假设函数拉普拉斯方程式基本解fundamental solution):

其中,狄拉克δ函数

例如,在R3,基本解的形式为

函数称为格林函数。对于变数的交换,格林函数具有对称性,即

设定,在区域内,是二次连续可微。假若在积分区域内,则应用狄拉克δ函数的定义,

其中,分别积分

这是格林第三恒等式。假若调和函数,即拉普拉斯方程式的解:

则这恒等式简化为

参阅[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley.