波塞利耶-利普金机械

波塞利耶-利普金机械（相同颜色的线具有相同的长度）

波塞利耶-利普金机械，发明于1864年，属于平面连杆机构，是第一个真正可以将转动运动转换为直线运动的平面直线运动机构，它以法国陆军军官Charles-Nicolas Peaucellier（1832-1913）和立陶宛犹太人Yom Tov Lipman Lipkin（1846-1876，著名拉比Israel Salanter的儿子）的名字命名。

在此机构发明之前，在没有参考导轨的情形下，没有平面机构可以将直线运动完美的转换为转动运动。1864年时，所有的动力来源是来自蒸汽机，其中有活塞，由汽缸施力，往上或往下运动。活塞和汽缸需要有良好的密封特性，让蒸汽机中的蒸汽可以维持在汽缸内，不会因为漏气而降低能量输出的效率。活塞和汽缸维持密封的作法是让活塞维持和汽缸壁平行的直线运动。因此如何让活塞的直线运动转换为旋转运动就变的非常重要，大部份的蒸气机应用都是旋转运动。

波塞利耶-利普金机械的数学和圆的反演几何有关。

萨鲁斯连杆机构

在波塞利耶-利普金机械之前，有另外一个立体的直线运动机构，称为萨鲁斯连杆机构，比波塞利耶-利普金机械早11年发明，是由一组以枢纽相连的长方形组成。长方形之间可以以枢纽为轴旋转，而长方形上的顶点会直线运动。萨鲁斯连杆机构属于立体的空间机构。

几何

波塞利耶-利普金机械的几何图

在波塞利耶-利普金机械的几何图中，有六个固定长度的杆：OA, OC, AB, BC, CD, DA。OA和OC长度相同，而AB、BC、CD和DA的长度也都相同，形成菱形。O点是固定点。若B点限制在一个圆的圆周上运动（例如以OB为直径，通过O和B二点的圆，图中红色的图）。D点会延著直线运动（图中的蓝线）。若点B限制在一直线上运动（不通过O点的直线），则D点会在圆周上运动（通过O点的圆周）。

数学证明

共线

首先，需要证明O点、B点和D点共线。这可以用观察的方式得知，连杆是两侧对称的，以直线OD为对称轴，因此B一定在此线上。

若要用正式的方式证明。因为边BD和自身相等，边BA和边BC相等，边AD和边CD相等，因此三角形BAD和三角形BCD全等，角BAD和角BCD相等。

接下来要证明三角形OBA和三角形OBC全等。因为线OA和线OC相等，边OB和自身相等，边BA和边BC相等，因此二三角形全等。角OBA和角OBC相等。

以下四个角的和是一个圆角，因此

∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360°

但因为三角形的全等，角OBA = 角OBC，角DBA = 角DBC，因此

2 × ∠OBA + 2 × ∠DBA = 360°

∠OBA + ∠DBA = 180°

因此，点O、B、D共线。

反演点

令点P为线段AC和线段BD的交点。因为ABCD是菱形，P会是线段AC和线段BD的中点，因此，线段BP和线段PD等长。

因为边BP和边DP相等，边AP和自身相等，边AB和边AD相同，因此三角形BPA和三角形DPA全等。因此角BPA等于角DPA。但因为角BPA + 角DPA = 180°，因此角BPA和角DPA都是90°。

令：

$x=\ell _{BP}=\ell _{PD}$

$y=\ell _{OB}$

$h=\ell _{AP}$

则：

$\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=y(y+2x)=y^{2}+2xy$

${\ell _{OA}}^{2}=(y+x)^{2}+h^{2}$ （因为毕氏定理）

${\ell _{OA}}^{2}=y^{2}+2xy+x^{2}+h^{2}$

${\ell _{AD}}^{2}=x^{2}+h^{2}$ （因为毕氏定理）

${\ell _{OA}}^{2}-{\ell _{AD}}^{2}=y^{2}+2xy=\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}$

因为OA和AD的长度固定,，因此OB和OD的乘积为定值：

$\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=k^{2}$

又因为O点、B点和D点共线，因此D点是B点相对圆(O,k)（圆心在O点，半径为k）的反演点。

反演几何

透过反演几何的特性，因为点D的轨迹是点B轨迹的反演。若B的轨迹是通过反演中心O的圆，则点D的轨迹会是一直线。若点B的轨迹是不通过点O的直线，则点D的轨迹是通过点O的圆。Q.E.D.

典型的主动件

图中的滑块摇杆四连杆是波塞利耶-利普金机械的输入

波塞利耶-利普金机械有许多的反演机构。其中一个如图所示，以滑块摇杆四连杆（ rocker-slider four-bar）为输入，若要再细分，滑块为输入，使得摇杆以及波塞利耶-利普金机械转动。

展览物

在荷兰埃因霍温的永久展览品中，有展览物就是以此机构为主题。此展览物大小为22乘15乘16米（72乘49乘52英尺），重6,600千克（14,600英磅），游客可以透过控制盘操作。

相关条目

• 哈特倒置器
• 连杆机构

文献

• Ogilvy, C. S., Excursions in Geometry, Dover: 46–48, 1990, ISBN 0-486-26530-7 
• Bryant, John; Sangwin, Chris. How round is your circle? : where engineering and mathematics meet. Princeton: Princeton University Press. 2008: 33–38; 60–63. ISBN 978-0-691-13118-4.  — proof and discussion of Peaucellier–Lipkin linkage, mathematical and real-world mechanical models
• Coxeter HSM, Greitzer SL. Geometry Revisited. Washington: Mathematical Association of America. 1967: 108–111. ISBN 978-0-88385-619-2.  (and references cited therein)
• Hartenberg, R.S. & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages （页面存档备份，存于互联网档案馆）, pp 181–5, New York: McGraw–Hill, weblink from Cornell University.
• Johnson RA. Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle reprint of 1929 edition by Houghton Miflin. New York: Dover Publications. 1960: 46–51. ISBN 978-0-486-46237-0. 
• Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 120. ISBN 0-14-011813-6. 

外部链接

• How to Draw a Straight Line, online video clips of linkages with interactive applets.
• How to Draw a Straight Line, historical discussion of linkage design （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Interactive Java Applet with proof. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Java animated Peaucellier–Lipkin linkage （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Jewish Encyclopedia article on Lippman Lipkin （页面存档备份，存于互联网档案馆） and his father Israel Salanter
• Peaucellier Apparatus features an interactive applet
• A simulation （页面存档备份，存于互联网档案馆） using the Molecular Workbench software
• A related linkage （页面存档备份，存于互联网档案馆） called Hart's Inversor.
• Modified Peaucellier robotic arm linkage (Vex Team 1508 video) （页面存档备份，存于互联网档案馆）