本条目中,向量 与标量 分别用粗体 与斜体 显示。例如,位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
表示;而其大小则用
r
{\displaystyle r\,\!}
来表示。 检验变数或场变数 的标记的后面没有单撇号“
′
{\displaystyle '\,\!}
”;源变数的标记的后面有单撇号“
′
{\displaystyle '\,\!}
”。
对于与源位置的距离呈反比的位势 ,其球多极展开 所得到的系数称为球多极矩 (Spherical multipole moments)。例如,电势 、磁向量势 、重力势 等等,都是这种位势。
给予在源位置
r
′
=
(
r
′
,
θ
′
,
ϕ
′
)
{\displaystyle \mathbf {r} '=(r',\theta ',\phi ')}
的电荷分布,计算在场位置
r
=
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \mathbf {r} =(r,\theta ,\phi )}
产生的电势。
源位置为
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }}
的点电荷
q
{\displaystyle q}
,其电势
Φ
(
r
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}
在场位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
为
Φ
(
r
)
=
q
4
π
ε
0
|
r
−
r
′
|
=
q
4
π
ε
0
1
r
2
+
r
′
2
−
2
r
′
r
cos
γ
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} |}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2r^{\prime }r\cos \gamma }}}}
;
其中,
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}}
是电常数 ,
γ
{\displaystyle \gamma }
是
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
与
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }}
之间的夹角。
假设
r
′
<
r
{\displaystyle r'<r}
,场位置比源位置离原点更远,则此距离倒数函数
1
/
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} |}
以
r
′
/
r
{\displaystyle r^{\prime }/r}
的幂 和勒壤得多项式 展开为[ 1] :
Φ
(
r
)
=
q
4
π
ε
0
r
∑
ℓ
=
0
∞
(
r
′
r
)
ℓ
P
ℓ
(
cos
γ
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r^{\prime }}{r}}\right)^{\ell }P_{\ell }(\cos \gamma )}
。
应用球馀弦定律 (spherical law of cosine ),
cos
γ
{\displaystyle \cos \gamma }
表示为
cos
γ
=
cos
θ
cos
θ
′
+
sin
θ
sin
θ
′
cos
(
ϕ
−
ϕ
′
)
{\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta ^{\prime }+\sin \theta \sin \theta ^{\prime }\cos(\phi -\phi ^{\prime })}
。
这结果也可以直接用向量代数 直接计算出来。
应用球谐函数加法定理 ,
P
ℓ
(
cos
γ
)
{\displaystyle P_{\ell }(\cos \gamma )}
又表示为[ 2]
P
ℓ
(
cos
γ
)
=
4
π
2
ℓ
+
1
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
{\displaystyle P_{\ell }(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })}
;
其中,
Y
ℓ
m
{\displaystyle Y_{\ell m}}
是球谐函数 。
将这方程式代入电势的方程式,可以得到
Φ
(
r
)
=
q
4
π
ε
0
r
∑
ℓ
=
0
∞
(
r
′
r
)
ℓ
(
4
π
2
ℓ
+
1
)
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r^{\prime }}{r}}\right)^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })}
。
点电荷的“球多极矩” 定义为
q
ℓ
m
=
d
e
f
q
r
′
ℓ
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
{\displaystyle q_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ qr^{\prime \ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })}
。
则电势的方程式又可写为
Φ
(
r
)
=
1
ε
0
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
q
ℓ
m
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
(
2
ℓ
+
1
)
r
ℓ
+
1
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {q_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{(2\ell +1)r^{\ell +1}}}}
。
假设
r
<
r
′
{\displaystyle r<r'}
,场位置比源位置离原点更近,则此距离倒数函数
1
/
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} |}
可以以
r
/
r
′
{\displaystyle r/r^{\prime }}
的幂 和勒壤得多项式 展开:
Φ
(
r
)
=
q
4
π
ε
0
r
′
∑
ℓ
=
0
∞
(
r
r
′
)
ℓ
(
4
π
2
ℓ
+
1
)
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{\prime }}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r}{r^{\prime }}}\right)^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })}
。
点电荷的“内部球多极矩”(前述的球多极矩称为外部球多极矩)定义为
I
ℓ
m
=
d
e
f
q
(
r
′
)
ℓ
+
1
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
{\displaystyle I_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {q}{\left(r^{\prime }\right)^{\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })}
。
则电势的方程式写为
Φ
(
r
)
=
1
ε
0
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
I
ℓ
m
r
ℓ
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
2
ℓ
+
1
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {I_{\ell m}r^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{2\ell +1}}}
。
前述多极展开方法可以推广至电荷密度分布。将点电荷
q
{\displaystyle q}
改换为微小电荷元素
ρ
(
r
′
)
d
r
′
{\displaystyle \rho (\mathbf {r} ^{\prime })d\mathbf {r} ^{\prime }}
,然后积分,则可得到电势的方程式(假设
r
′
<
r
{\displaystyle r'<r}
):
Φ
(
r
)
=
1
ε
0
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
q
ℓ
m
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
(
2
ℓ
+
1
)
r
ℓ
+
1
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {q_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{(2\ell +1)r^{\ell +1}}}}
;
其中,电荷密度分布的球多极矩定义为
q
ℓ
m
=
d
e
f
∫
V
′
ρ
(
r
′
)
(
r
′
)
ℓ
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
d
3
r
′
{\displaystyle q_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ^{\prime })\left(r^{\prime }\right)^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ^{\prime }}
,
V
′
{\displaystyle \mathbb {V} '}
是积分体积。
特别注意,由于电势
Φ
(
r
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}
为实值,这展开式的复共轭也是同样正确的球多极展开式。然而,这样做会导致球多极矩的定义式含有
Y
ℓ
m
{\displaystyle Y_{\ell m}}
项目,而不是其复共轭数
Y
ℓ
m
∗
{\displaystyle Y_{\ell m}^{*}}
。在某些领域,例如物理化学 ,这是一般常规。更详尽资料,请参阅条目分子多极矩 (molecular multipole moment )。
类似地,假设
r
<
r
′
{\displaystyle r<r'}
,场位置比源位置离原点更近,则电势的方程式为
Φ
(
r
)
=
1
ε
0
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
I
ℓ
m
r
ℓ
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
2
ℓ
+
1
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {I_{\ell m}r^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{2\ell +1}}}
;
其中,电荷密度分布的内部球多极矩定义为
I
ℓ
m
=
d
e
f
∫
V
′
ρ
(
r
′
)
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
(
r
′
)
ℓ
+
1
d
3
r
′
{\displaystyle I_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })Y_{\ell m}^{*}(\theta ^{\prime },\phi ^{\prime })}{\left(r^{\prime }\right)^{\ell +1}}}\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ^{\prime }}
。
两个互不重叠,同心的电荷分布可以用简单公式来描述。设定第一个电荷分布
ρ
1
{\displaystyle \rho _{1}}
在第二个电荷分布
ρ
2
{\displaystyle \rho _{2}}
的内部,则由
ρ
1
{\displaystyle \rho _{1}}
所产生的电势
Φ
1
{\displaystyle \Phi _{1}}
,因为作用于
ρ
2
{\displaystyle \rho _{2}}
而涉及的相互作用能
U
{\displaystyle U}
为
U
=
∫
V
ρ
2
(
r
)
Φ
1
(
r
)
d
3
r
{\displaystyle U=\int _{\mathbb {V} }\rho _{2}(\mathbf {r} )\Phi _{1}(\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }
。
电势
Φ
1
(
r
)
{\displaystyle \Phi _{1}(\mathbf {r} )}
可以以外部球多极矩展开为
Φ
1
(
r
)
=
1
ε
0
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
q
1
ℓ
m
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
(
2
ℓ
+
1
)
r
ℓ
+
1
{\displaystyle \Phi _{1}(\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {q_{1\ell m}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{(2\ell +1)r^{\ell +1}}}}
;
其中,
q
1
ℓ
m
{\displaystyle q_{1\ell m}}
是第一个电荷分布的
ℓ
m
{\displaystyle \ell m}
外部球多极矩。
将这方程式代入相互作用能
U
{\displaystyle U}
的方程式,可以得到
U
=
1
ε
0
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
q
1
ℓ
m
2
ℓ
+
1
∫
V
ρ
2
(
r
)
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
r
ℓ
+
1
d
3
r
{\displaystyle U={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {q_{1\ell m}}{2\ell +1}}\int _{\mathbb {V} }{\frac {\rho _{2}(\mathbf {r} )Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{r^{\ell +1}}}\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }
。
注意到其积分项目等于
ρ
2
(
r
′
)
{\displaystyle \rho _{2}(\mathbf {r} ^{\prime })}
的内部球多极矩
I
2
ℓ
m
{\displaystyle I_{2\ell m}}
的复共轭数,相互作用能
U
{\displaystyle U}
的方程式约化为简单形式
U
=
1
ε
0
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
q
1
ℓ
m
I
2
ℓ
m
∗
2
ℓ
+
1
{\displaystyle U={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {q_{1\ell m}I_{2\ell m}^{*}}{2\ell +1}}}
。
这方程式可以用来计算,原子核 产生的电势因为与其周围的原子轨域 耦合而涉及的相互作用能。反过来,给定相互作用能与电子轨域的内部球多极矩,则可以计算原子核的外部球多极矩,从而得知其形状。
假设电荷密度为“轴对称”,即与方位角
ϕ
′
{\displaystyle \phi ^{\prime }}
无关,则球多极展开式的形式很简单。在
q
ℓ
m
{\displaystyle q_{\ell m}}
与
I
ℓ
m
{\displaystyle I_{\ell m}}
的定义式内,对于
ϕ
′
{\displaystyle \phi ^{\prime }}
积分,则可以发觉除了
m
=
0
{\displaystyle m=0}
球多极矩以外,其它球多极矩都等于零。应用数学恒等式[ 2]
P
ℓ
(
cos
θ
)
=
4
π
2
ℓ
+
1
Y
ℓ
0
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )={\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell 0}(\theta ,\phi )}
,
轴对称球多极矩定义为
q
ℓ
=
d
e
f
∫
V
′
2
ℓ
+
1
4
π
ρ
(
r
′
)
(
r
′
)
ℓ
P
ℓ
(
cos
θ
′
)
d
3
r
′
{\displaystyle q_{\ell }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\mathbb {V} '}{\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}\ \rho (\mathbf {r} ^{\prime })\left(r^{\prime }\right)^{\ell }P_{\ell }(\cos \theta ^{\prime })\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ^{\prime }}
,
则外部球多极展开式为
Φ
(
r
)
=
1
4
π
ε
0
∑
ℓ
=
0
∞
4
π
2
ℓ
+
1
q
ℓ
P
ℓ
(
cos
θ
)
r
ℓ
+
1
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\ {\frac {q_{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )}{r^{\ell +1}}}}
。
类似地,轴对称内部球多极矩定义为
I
ℓ
=
d
e
f
∫
V
′
2
ℓ
+
1
4
π
ρ
(
r
′
)
(
r
′
)
ℓ
+
1
P
ℓ
(
cos
θ
′
)
d
3
r
′
{\displaystyle I_{\ell }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\mathbb {V} '}{\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}\ {\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })}{\left(r^{\prime }\right)^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \theta ^{\prime })\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ^{\prime }}
,
内部球多极展开式为
Φ
(
r
)
=
1
4
π
ε
0
∑
ℓ
=
0
∞
4
π
2
ℓ
+
1
I
ℓ
r
ℓ
P
ℓ
(
cos
θ
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}I_{\ell }r^{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )}
。
注意到
q
ℓ
(
−
m
)
=
(
−
1
)
m
q
ℓ
m
∗
{\displaystyle q_{\ell (-m)}=(-1)^{m}q_{\ell m}^{*}}
。以下列出几个最低阶的球多极矩的表达式,以及与笛卡儿多极矩之间的关系[ 2] :
q
00
=
1
4
π
∫
V
′
ρ
(
r
′
)
d
3
r
′
=
1
4
π
q
q
11
=
−
3
8
π
∫
V
′
r
′
sin
θ
′
e
−
i
ϕ
′
ρ
(
r
′
)
d
3
r
′
=
−
3
8
π
(
p
x
−
i
p
y
)
q
10
=
3
4
π
∫
V
′
r
′
cos
θ
′
ρ
(
r
′
)
d
3
r
′
=
−
3
4
π
p
z
q
22
=
15
32
π
∫
V
′
r
′
2
sin
2
θ
′
e
−
2
i
ϕ
′
ρ
(
r
′
)
d
3
r
′
=
15
288
π
(
Q
11
−
2
i
Q
12
−
Q
22
)
q
21
=
−
15
8
π
∫
V
′
r
′
2
sin
θ
′
cos
θ
′
e
−
i
ϕ
′
ρ
(
r
′
)
d
3
r
′
=
−
15
72
π
(
Q
13
−
i
Q
33
)
q
20
=
5
16
π
∫
V
′
r
′
2
(
cos
2
θ
′
−
1
)
ρ
(
r
′
)
d
3
r
′
=
5
16
π
Q
33
{\displaystyle {\begin{aligned}q_{00}&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\ q\\q_{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r'\sin {\theta '}\ e^{-i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\ (p_{x}-ip_{y})\\q_{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r'\cos {\theta '}\ \rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\ p_{z}\\q_{22}&={\sqrt {\frac {15}{32\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}\sin ^{2}{\theta '}\ e^{-2i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\sqrt {\frac {15}{288\pi }}}\ (Q_{11}-2iQ_{12}-Q_{22})\\q_{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}\sin {\theta '}\cos {\theta '}\ e^{-i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {15}{72\pi }}}\ (Q_{13}-iQ_{33})\\q_{20}&={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}(\cos ^{2}{\theta '}-1)\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\ Q_{33}\end{aligned}}}
。
其中,
(
p
x
,
p
y
,
p
z
)
{\displaystyle (p_{x},p_{y},p_{z})}
是笛卡儿电偶极矩 ,
Q
i
j
{\displaystyle Q_{ij}}
是笛卡儿电四极矩 (electric quadruple moment )。
^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 146–148, 1998, ISBN 0-13-805326-X
^ 2.0 2.1 2.2 Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 107–111, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1