连续映射定理

概率论中，连续映射定理（英语：Continuous mapping theorem）指出连续函数保持极限，即使其参数是一列随机变量。

海涅定义下的连续函数是指将收敛数列映为收敛数列的函数：如果 $x_{n}\rightarrow x$ 那么 $(x_{n})\rightarrow g(x)$。连续映射定理指出，如果把确定的数列$\{x_{n}\}$替换为一列随机变量$\{x_{n}\}$，把通常的收敛定义替换为某种随机变量的收敛定义，那么这个命题依然成立。 这个定理第一次由Mann & Wald (1943)证明，因此有时又被称作Mann–Wald定理。

叙述

设$X_{n}\ (n=0,1,\ldots )$和$X$为度量空间$S$中的随机元素，又设$g:S\to S'$为自$S$至另一个度量空间$S'$的函数，其不连续点集$D_{g}$满足$\mathbb {P} (X\in D_{g})=0$，则：

${\begin{aligned}X_{n}\ \xrightarrow {\text{d}} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\text{d}} \ g(X);\\[6pt]X_{n}\ \xrightarrow {\text{p}} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\text{p}} \ g(X);\\[6pt]X_{n}\ \xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!} \ g(X).\end{aligned}}$

其中箭嘴上标的d、p、a.s.分别表示依分布收敛、依概率收敛、殆必收敛。