旋转不变性

在数学里，给予一个定义于内积空间的函数，假若对于任意旋转，函数的参数值可能会改变，但是函数的数值仍旧保持不变，则称此性质为旋转不变性（rotational invariance），或旋转对称性（rotational symmetry），因为函数对于旋转具有对称性。例如，假设以xyz-参考系的原点为固定点，任意旋转xyz-参考系，而函数 $f(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 的数值保持不变，因此，函数 $f(x,\,y,\,z)$ 对于任意旋转具有不变性，或对于任意旋转具有对称性。

在物理学里，假若物理系统的性质跟它在空间的取向无关，则这系统具有旋转不变性。根据诺特定理，假若物理系统的作用量具有旋转不变性，则角动量守恒。

根据物理学家多年来仔细研究的结果，到目前为止，所有的物理基础定律都具有旋转不变性。

球对称位势范例

哈密顿算符的旋转不变性

假设一个量子系统的位势为球对称位势 $V(r)$ ，其哈密顿算符 $H$ 可以表示为

$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)$ ；

其中，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$m$ 是质量，$r$ 是径向距离。

现在，以 z-轴为旋转轴，旋转此系统的 x-轴与 y-轴 $\theta$ 角弧，则新直角坐标 $\mathbf {r} '=(x',\,y',\,z')$ 与旧直角坐标的关系式为

$x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ 、

$y'=x\sin \theta +y\cos \theta$ 、

$z'=z$ 。

偏导数为

${\frac {\partial }{\partial x'}}=\cos \theta {\frac {\partial }{\partial x}}-\sin \theta {\frac {\partial }{\partial y}}$ 、

${\frac {\partial }{\partial y'}}=\sin \theta {\frac {\partial }{\partial x}}+\cos \theta {\frac {\partial }{\partial y}}$ 、

${\frac {\partial }{\partial z'}}={\frac {\partial }{\partial z}}$ 。

那么，导数项目具有旋转不变性：

$\nabla '^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial y'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial z'}}\right)^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{2}=\nabla ^{2}$ 。

由于径向距离具有旋转不变性：

$r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=r$ ，

旋转之后，新的哈密顿算符 $H'$ 是

$H'=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla '^{2}+V(r')=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)=H$ 。

所以，球对称位势量子系统的哈密顿算符具有旋转不变性。

角动量守恒

假设一个量子系统的位势为球对称位势 $V(r)$ ，则哈密顿算符具有旋转不变性。定义旋转算符 $R$ 为一个对于 z-轴的无穷小旋转 $\delta \theta$ 。则正弦函数与馀弦函数可以分别近似为

$\sin \delta \theta \approx \delta \theta$ 、

$\cos \delta \theta \approx 1$ 。

新直角坐标与旧直角坐标之间的关系式为

$x'\approx x-y\delta \theta$ 、

$y'\approx x\delta \theta +y$ 、

$z'=z$ 。

将 $R$ 作用于波函数 $\psi (x,\,y,\,z)$ ，

$R\psi (x,\,y,\,z)=\psi (x',\,y',\,z')\approx \psi (x,\,y,\,z)+{\frac {i}{\hbar }}\delta \theta L_{z}\psi (x,\,y,\,z)$ ；

其中，$L_{z}$ 是角动量的 z-分量，$L_{z}=xp_{y}-yp_{x}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)$ 。

所以，旋转算符 $R$ 可以表达为

$R=1+{\frac {i}{\hbar }}\delta \theta L_{z}$ 。

假设 $\psi _{E}(\mathbf {r} )$ 是哈密顿算符的能级本征态，则

$H\psi _{E}(\mathbf {r} )=E\psi _{E}(\mathbf {r} )$ 。

由于 $\mathbf {r}$ 只是一个虚设变数，

$H'\psi _{E}(\mathbf {r} ')=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')$ 。

在做一个微小旋转之后，

$RH\psi _{E}(\mathbf {r} )=RE\psi _{E}(\mathbf {r} )=ER\psi _{E}(\mathbf {r} )=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')$ 、

$HR\psi _{E}(\mathbf {r} )=H\psi _{E}(\mathbf {r} ')=H'\psi _{E}(\mathbf {r} ')=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')$ 。

所以，$(RH-HR)\psi _{E}(\mathbf {r} )=0$ 。哈密顿算符的能级本征态 $\psi _{E}(\mathbf {r} )$ 形成一组完备集 (complete set)，旋转算符和哈密顿算符的对易关系是

$[R,\,H]=0$ 。

因此，

$[L_{z},\,H]=0$ 。

根据埃伦费斯特定理，$L_{z}$ 的期望值对于时间的导数是

${\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [L_{z},\,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial L_{z}}{\partial t}}\right\rangle$ 。

所以，

${\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle =\left\langle {\frac {\partial L_{z}}{\partial t}}\right\rangle$ 。

由于 $L_{z}$ 显性地不含时间，

${\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle =0$ 。

总结，$\langle L_{z}\rangle$ 不含时间，$L_{z}$ 是个运动常数。角动量的 z-分量守恒。类似地，可以导出其它分量也拥有同样的性质。所以，整个角动量守恒。

参阅

• 各向同性
• 轴对称
• 明显对称性破缺
• 马克士威定理 (Maxwell's theorem)

参考文献

• Gasiorowics, Stephen. Quantum Physics (3rd ed.). Wiley. 2003. ISBN 978-0471057000. 
• Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. 特别参考第十二章。非专科性书籍。