归一条件

在量子力学里，表达粒子的量子态的波函数必须满足归一条件（归一化，或规范化，英语：be normalized），也就是说，在空间内，找到粒子的机率必须等于 $1$ 。这性质称为归一性。用数学公式表达，

$\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\ dx=1$ ;

其中，$x$ 是粒子的位置，$\psi (x)$ 是波函数。

归一化导引

一般而言，波函数 $\psi$ 是一个复函数。可是，$\psi ^{*}\psi =\mid \psi \mid ^{2}$ 是一个实函数，大于或等于 $0$ ，称为“机率密度函数”。所以，在区域 $[x,\ x+\Delta x]$ 内，找到粒子的机率 $\Delta P$ 是

$\Delta P=\mid \psi \mid ^{2}\Delta x$ ；(1) 。

既然粒子存在于空间，机率是 $1$ 。所以，积分于整个一维空间：

$P=\int _{-\infty }^{\infty }\mid \psi \mid ^{2}dx=1$ 。(2)

假若，从解析薛丁格方程而得到的波函数 $\psi$ ，其机率 $P$ 是有限的，但不等于 $1$ ，则可以将波函数 $\psi$ 乘以一个常数，使机率 $P$ 等于 $1$ 。或者，假若波函数内，已经有一个任意常数，可以设定这任意常数的值，使机率 $P$ 等于 $1$。

实例

在一维空间内，束缚于区域 $[0,\ \ell ]$ 内的一个粒子，其波函数是

$\psi (x,\ t)={\begin{cases}Ae^{i(kx-\omega t)},&0\leq x\leq \ell \\0,&elsewhere\end{cases}}$ ；

其中，$k$ 是波数，$\omega$ 是角频率，$A$ 是任意常数。

计算能够使波函数归一化的常数值 $A$ 。将波函数代入：

$\mid \psi \mid ^{2}=A^{2}e^{i(kx-\omega t)}e^{-i(kx-\omega t)}=A^{2}$ 。

积分于整个粒子存在的区域：

$\int _{0}^{\ell }A^{2}dx=1$ 。

稍加运算，

$A^{2}\ell =1\qquad \Rightarrow \qquad A=\left({\frac {1}{\sqrt {\ell }}}\right)$ 。

归一化的波函数是：

$\psi (x,t)={\begin{cases}\left({\frac {1}{\sqrt {\ell }}}\right)e^{i(kx-\omega t)},&0\leq x\leq \ell \\0,&{\text{elsewhere}}\end{cases}}$ 。

薛丁格方程的形式不变

薛丁格方程为

${\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$ ；

其中，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$V(x)$ 是位势，$E$ 是能量。

将波函数 $\psi$ 归一化为 $\psi \,'=A\psi$ 。则薛丁格方程成为

${\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}A{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)A\psi (x)=EA\psi (x)$

$\Rightarrow A\left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)\right)=A\left(E\psi (x)\right)$

$\Rightarrow {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$ 。

薛丁格方程的形式不变。对于归一化，薛丁格方程是个不变式，因为薛丁格方程是个线性微分方程式。

一个表达粒子量子态的波函数，必须满足粒子的薛丁格方程。既然 $\psi$ 和 $\psi \,'$ 都能够满足同样的薛丁格方程，它们必定都表达同样的量子态。假若不使用归一化的波函数，则只能知道机率的相对大小；否则，使用归一化的波函数，可以知道绝对的机率。这对于量子问题的解析，会提供许多便利。

归一化恒定性

给予一个归一化的波函数．随著时间的变化，波函数也会改变．假若，随著时间改变的波函数不再满足归一条件，则势必要重新将波函数归一化．这样，归一常数 $A$ 变得含时间．很幸运地，满足薛丁格方程的波函数的归一性是恒定的．设定波函数 $\psi (x,\ t)$ 满足薛丁格方程与归一条件：

${\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+V(x)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}$ ，

$P=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}\psi \ dx=1$ ；

假若，归一性是恒定的，则机率 $P$ 不含时间。为了显示这一点，先计算 ${\frac {dP}{dt}}$ ：

${\frac {dP}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x,\ t)\psi (x,\ t)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}(x,\ t)\psi (x,\ t))\ dx$ 。

展开被积函数

${\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}\psi )={\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\psi +\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$ 。

编排薛丁格方程，可以得到波函数 $\psi$ 对于时间的偏导数：

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi$ 。

共轭波函数 $\psi ^{*}$ 对于时间的偏导数为

${\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}={\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi ^{*}$ 。

将 $\psi$ 与 $\psi ^{*}$ 代入被积函数

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}\psi )&=\left({\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi ^{*}\right)\psi +\psi ^{*}\left({\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi \right)\\&=\left({\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}\right)\psi +\psi ^{*}\left({\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\right)\\&=\left({\frac {i\hbar }{2m}}\right){\frac {\partial }{\partial x}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\\\end{aligned}}$。

代入 ${\frac {dP}{dt}}$ 的方程式:

${\frac {dP}{dt}}=\left({\frac {i\hbar }{2m}}\right)\left[\left.\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\right|_{\infty }-\left.\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\right|_{-\infty }\right]$ 。

可是，在 $x=\pm \infty$ ，$\psi$ 与 $\psi ^{*}$ 都等于 0 ．所以，

${\frac {dP}{dt}}=0$ 。

机率 $P=1$ 不含时间。波函数的归一化是恒定的。

参考文献

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

参阅

• 正则变换
• 幺正性

外部链接

• Middlebury 大学讲义：归一化