內生性

內生性（英語：Endogeneity）在計量經濟學中廣泛指代解釋變量與擾動項相關的現象。忽略內生性問題會違背高斯-馬爾可夫定理，導致產生有偏的估計量，^[1]以及無效的政策建議。^[2]工具變量法是一種緩解內生性問題的常用方法。

內生性問題

如果回歸模型中的解釋變量與擾動項相關，那麼最小二乘法的回歸係數的估計量將會是有偏的。但是，如果其中的相關性不是同期的，那麼得出的係數仍然可能是一致的。有許多方法可以幫助糾正上述的偏誤，例如工具變量法和赫克曼矯正法（英語：Heckman correction）。

以下是內生性問題的常見原因。

這種情況下，內生性來源於未受到控制的干擾變量，這一變量既和模型中的解釋變量相關，又存在於擾動項中。換言之，這一遺漏變量不僅影響解釋變量，同時還單獨地作用於被解釋變量。

假設需要估計的「真實」模型為：

y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\gamma z_{i}+u_{i}

但是 $z_{i}$ 在回歸模型中被遺漏了（例如缺乏統計這一變量的手段）。因此，實際估計的模型為：

y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{i}

其中， $\varepsilon _{i}=\gamma z_{i}+u_{i}$ ，也就是說，變量 $z_{i}$ 被包含在了擾動項當中。

如果 $x$ 和 $z$ 的相關係數不等於0，而且 $z$ 還獨立作用與 $y$ （意味着 $\gamma \neq 0$ ），那麼 $x$ 就會與 $\varepsilon$ 相關。

這一例子中， $x$ 對於 $\alpha$ 和 $\beta$ 不是外生的，這是由於：對於給定的解釋變量 $x$ ， $y$ 的分布不僅取決於 $\alpha$ 和 $\beta$ ，還受到 $z$ 以及 $\gamma$ 的影響。

假設某個解釋變量無法得到精準的測量。即，真實的變量 $x_{i}^{*}$ 無法觀察到，實際觀測到的是 $x_{i}=x_{i}^{*}+\nu _{i}$ ，其中， $\nu _{i}$ 是測量誤差（「噪音」）。模型：

y_{i}=\alpha +\beta x_{i}^{*}+\varepsilon _{i}

需要改寫為實際觀測到的形式：

{\begin{aligned}y_{i}&=\alpha +\beta (x_{i}-\nu _{i})+\varepsilon _{i}\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+(\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+u_{i}\quad (u_{i}=\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\end{aligned}}

由於 $x_{i}$ 和 $u_{i}$ 都受到 $\nu _{i}$ 影響，這兩個變量是相關的。結果來看， $\beta$ 最小二乘法估計量會被低估。

被解釋變量 $y_{i}$ 的測量誤差不會導致內生性，但是會引起擾動項的方差增大。

假設兩個變量互相決定（存在「同時性」），兩者的結構方程模型（英語：Structural equation modeling）如下：

y_{i}=\beta _{1}x_{i}+\gamma _{1}z_{i}+u_{i}

z_{i}=\beta _{2}x_{i}+\gamma _{2}y_{i}+v_{i}

對兩個等式的任意一個進行估計都會導致內生性。以前一個等式為例， $E(z_{i}u_{i})\neq 0$ 。在 $1-\gamma _{1}\gamma _{2}\neq 0$ 的假設下求解 $z_{i}$ 得到：

z_{i}={\frac {\beta _{2}+\gamma _{2}\beta _{1}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}x_{i}+{\frac {1}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}v_{i}+{\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}u_{i}

又假設 $x_{i}$ 和 $\gamma _{i}$ 都與 $u_{i}$ 無關，

\operatorname {E} (z_{i}u_{i})={\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}\operatorname {E} (u_{i}u_{i})\neq 0

因此，對兩個等式的估計都會受到內生性影響。

內生性問題在時間序列因果分析中影響尤為廣泛。在因果關係中，時期 $t$ 的變量很可能與 $t-1$ 的其他變量存在跨期關聯。假設解釋變量「蟲害程度」在本期與其他變量都無關，但是與上一期的降雨量和肥料施用量有關。這種情況下，蟲害程度在同期是外生的，但是在時間序列當中卻存在內生性。

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