變分原理 是物理學 的一條基本原理，以變分法 來表達。
根據科內利烏斯·蘭佐斯 的說法，任何可以用變分原理來表達的物理定律描述一種自伴 的表示。這種表示也被說成是埃爾米特 的，描述了在埃爾米特變換下的不變量 。
菲利克斯·克萊因 的愛爾蘭根綱領 試圖鑑識這類在一組變換下的不變量。在物理學的諾特定理 中，一組變換的龐加萊群 （現在廣義相對論 中被稱為規範群 ）定義了在一組依賴於變分原理的變換下的對稱性，即作用原理 。
假設你想計算一個哈密頓量為H 的體系的基態能量Egs ，換句話說，已經知道體系的哈密頓算符 H 。如果不能解薛定諤方程 來找出波函數 ，可以任意猜測一個歸一化的波函數，比如說φ，結果是根據猜測的波函數得到的哈密頓算符的期望值將會高於實際的基態能量。換言之：
E
g
r
o
u
n
d
≤
⟨
ϕ
|
H
|
ϕ
⟩
{\displaystyle E_{ground}\leq \left\langle \phi |H|\phi \right\rangle }
這對於所猜測的任何φ都適用。
任一個波函數φ都可以展開為哈密頓算符的實際本徵函數 的線性組合 （我們假定這些本徵函數是正交歸一 的）：
ϕ
=
∑
n
c
n
ψ
n
{\displaystyle \phi =\sum _{n}c_{n}\psi _{n}\,}
那麼，哈密頓算符的期望值 是：
⟨
ϕ
|
H
|
ϕ
⟩
{\displaystyle \left\langle \phi |H|\phi \right\rangle \,}
=
⟨
∑
n
c
n
ψ
n
|
H
|
∑
m
c
m
ψ
m
⟩
{\displaystyle =\left\langle \sum _{n}c_{n}\psi _{n}|H|\sum _{m}c_{m}\psi _{m}\right\rangle \,}
=
∑
n
∑
m
⟨
c
n
ψ
n
|
E
m
|
c
m
ψ
m
⟩
{\displaystyle =\sum _{n}\sum _{m}\left\langle c_{n}\psi _{n}|E_{m}|c_{m}\psi _{m}\right\rangle \,}
=
∑
n
∑
m
c
n
∗
c
m
E
m
⟨
ψ
n
|
ψ
m
⟩
{\displaystyle =\sum _{n}\sum _{m}c_{n}^{*}c_{m}E_{m}\left\langle \psi _{n}|\psi _{m}\right\rangle \,}
=
∑
n
|
c
n
|
2
E
n
{\displaystyle =\sum _{n}|c_{n}|^{2}E_{n}\,}
如果把
E
n
{\displaystyle E_{n}}
E
g
{\displaystyle E_{g}}
⟨
ϕ
|
H
|
ϕ
⟩
≥
E
g
{\displaystyle \left\langle \phi |H|\phi \right\rangle \geq E_{g}\,}
給定一個描述所研究的體系的哈密頓算符H 任意 可歸一化的並帶有適當體系未知波函數參數的函數Ψ 泛函 ：
ε
[
Ψ
]
=
⟨
Ψ
|
H
^
|
Ψ
⟩
⟨
Ψ
|
Ψ
⟩
.
{\displaystyle \varepsilon \left[\Psi \right]={\frac {\left\langle \Psi |{\hat {H}}|\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi |\Psi \right\rangle }}.}
那麼變分原理說明：
ε
≥
E
0
{\displaystyle \varepsilon \geq E_{0}}
E
0
{\displaystyle E_{0}}
ε
=
E
0
{\displaystyle \varepsilon =E_{0}}
Ψ
{\displaystyle \Psi }
上述變分原理是變分法 的基本原理，用於量子力學 和量子化學 來近似求解體系基態 。
一維簡諧振子的哈密頓算符為
H
=
−
ℏ
2
2
μ
d
2
d
x
2
+
1
2
μ
ω
2
x
2
{\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}x^{2}}
ℏ
{\displaystyle \hbar }
約化普朗克常數 ，
μ
{\displaystyle \mu }
ω
{\displaystyle \omega }
選取高斯函數 作為試探波函數
ψ
(
x
)
=
A
e
−
b
x
2
{\displaystyle \psi \left(x\right)=Ae^{-bx^{2}}}
b
{\displaystyle b}
∫
−
∞
∞
ψ
∗
(
x
)
ψ
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\ dx=1}
A
=
(
2
b
π
)
1
2
{\displaystyle A=\left({\frac {2b}{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}}
哈密頓量為
H
=
T
+
V
{\displaystyle H=T+V}
T
{\displaystyle T}
V
{\displaystyle V}
H
=
T
+
V
=
−
ℏ
2
2
μ
|
A
|
2
∫
−
∞
+
∞
e
−
b
x
2
d
2
d
x
2
(
e
−
b
x
2
)
d
x
+
1
2
μ
ω
2
|
A
|
2
∫
−
∞
+
∞
e
−
2
b
x
2
x
2
d
x
=
ℏ
2
b
2
μ
+
μ
ω
2
8
b
{\displaystyle H=T+V=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left|A\right|^{2}\int _{-\infty }^{+\infty }{e^{-bx^{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left(e^{-bx^{2}}\right)dx}+{\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}\left|A\right|^{2}\int _{-\infty }^{+\infty }{e^{-2bx^{2}}x^{2}dx=}{\frac {\hbar ^{2}b}{2\mu }}+{\frac {\mu \omega ^{2}}{8b}}}
對於任意
b
{\displaystyle b}
H
{\displaystyle H}
E
g
{\displaystyle E_{g}}
H
{\displaystyle H}
H
{\displaystyle H}
b
{\displaystyle b}
0
{\displaystyle 0}
d
H
d
b
=
ℏ
2
2
μ
−
μ
ω
2
8
b
2
=
0
⇒
b
=
μ
ω
2
ℏ
{\displaystyle {\frac {dH}{db}}={\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}-{\frac {\mu \omega ^{2}}{8b^{2}}}=0\Rightarrow b={\frac {\mu \omega }{2\hbar }}}
此時，
H
min
=
1
2
ℏ
ω
{\displaystyle H_{\min }={\frac {1}{2}}\hbar \omega }
E
=
(
n
+
1
2
)
ℏ
ω
{\displaystyle E=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega }
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![{\displaystyle \varepsilon \left[\Psi \right]={\frac {\left\langle \Psi |{\hat {H}}|\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi |\Psi \right\rangle }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165f8a9419f0d86416dabb8de449327f3bd4dee6)
