射影空間

在透視投影里，平面上的平行線相交於地平線 上的消失點。

數學上，一個射影空間可以被看作是通過向量空間V的原點的直線的集合。V = R²以及V = R³的射影空間分別為實射影直線和實射影平面，其中 R表示實數域，R²表示有序實數對，R³表示實有序三元組。

射影空間的概念與透視投影有關。更確切地說，它與眼睛或照相機把3D場景投影到2D圖像的方法有關。所有位於同一條投影直線（即與相機的入射瞳孔相交的"視線"）上的點被投影到同一個圖像上的點。在這種情況下，向量空間為R³，相機的入射瞳孔位於原點，而射影空間與圖像上的點對應。

介紹

射影空間

如前文提到的，射影空間是一個把"平行直線相交於無窮遠處"的描述進行形式化定義的幾何對象。我們以下給出建構實射影平面 P²(R)的細節。如下三種定義等價：

1. R³中通過原點(0, 0, 0)的所有直線的集合。每條這樣的直線與球心在原點、半徑為1的球面恰好在兩個點相交，即P = (x, y, z)與其對跖點 (−x, −y, −z)。
2. P²(R)也可以被描述為球面S²上的點，其中每個點P與其對跖點不進行區分。例如，點(1, 0, 0) (圖中紅色點)與點(−1, 0, 0) (淺紅色點，因渲染關係顏色偏黃)等同。
3. 最後，另一種等價定義是R³ ∖ {(0, 0, 0)}的等價類，即不包含原點的三維空間，其中兩個點P = (x, y, z)與P^∗ = (x^∗, y^∗, z^∗)等價當且僅當存在非零實數λ使得P = λ⋅P^∗，即x = λx^∗，y = λy^∗，z = λz^∗。射影平面的元素的通常寫法，即R³中非零點(x, y, z)所對應的等價類，可以寫成[x : y : z]。

最後一個公式即為齊次坐標。

在齊次坐標下，任意點[x : y : z] (z ≠ 0)等價於點[x/z : y/z : 1]。因此，射影平面可以分為兩個不相交的集合：包含滿足z ≠ 0的形如[x : y : z] = [x/z : y/z : 1]的點，以及形如[x : y : 0]的點。 後者可以再被類似地劃分為兩個不相交子集，即等價於[x/y : 1 : 0]的點集和形如[x : 0 : 0]的點集。在最後一種情況下，x必不為零，因為原點不屬於P²(R)。這最後的一個集合即等價於點[1 : 0 : 0]。 從幾何上看，第一個子集與R²同構（我們將在後面看到，這不僅僅是集合意義上的同構，也是流形意義上的同構），位於圖中黃色的上半球（不包含赤道；等價地也可以說是下半球）。第二個子集則與R¹同構，對應於綠色半圓弧（不包含兩個標出來的端點；等價地也可以說淺綠色半圓弧）。最後，剩下的即為紅色點或與其等價的淺紅色點。

射影空間的公理定義

射影空間S可以被定義為滿足如下公理的一個集合P（點集合）與一個P的子集的集合L（直線集合）：

• 每兩個不同的點p和q恰好位於一條直線上。
• 維布倫公理：如果a, b, c, d為不同的點，並且通過ab和cd的直線相交，那麼通過ac和bd的直線也相交。
• 任意直線上至少有3個點。

最後這條公理排除了以下可約的情況：給定一組互不相交的射影空間，對任意位於兩個不同的射影空間的點構造包含這兩點的線，則這些射影空間的並仍滿足前幾條公理。更抽象地說，它可以被定義為一個關聯結構 (P, L, I)，它包括點集P，線集L，以及聲明哪些點位於哪些線上的關聯關係I。

有限射影空間/平面

法諾平面

當射影空間的點集P只有有限個點時，該空間被稱為有限射影空間。在任意有限射影空間中，每條線均包含相同的點數，於是可以定義空間的階數為這個（共同的）點數減一。對於三維及以上的有限射影空間，韋德伯恩小定理意味着射影空間所定義在的商環必須是一個有限域，GF(q)，其階數（即元素個數）為q （一個素指數）。