廣義正交群

數學上，廣義正交群或稱偽正交群、不定正交群O(p,q)是所有保持n=p+q維實向量空間上的符號為 (p,q)的非退化對稱雙線性形式的線性變換組成的李群。這個群的維數是n(n−1)/2。

廣義特殊正交群SO(p,q)是O(p,q)中所有行列式為1的元素構成的子群。

度量的符號（p、q分別為正負特徵值的個數）在同構的意義下決定該群；交換p和q相當於度量改變慣性指數，所以給出同樣的群。如果p或q等於0，那麼同構於普通正交群O(n)。我們假設下文中p和q均是正整數。

群O(p,q)定義在實向量空間上。對於複空間，所有群O(p,q; C)都同構於通常正交群O(p + q; C)，因為複共軛變換 $z_{j}\mapsto iz_{j}$ 能改變二次型的慣性指數。

矩陣定義[編輯]

和經典正交群O(n)一樣，O(p,q)能表示為矩陣群。R^p,q上由對角矩陣給出標準內積：

\eta =\mathrm {diag} (\underbrace {1,\cdots ,1} _{p},\underbrace {-1,\cdots ,-1} _{q}).\,

作為二次型， $Q(x_{1},\dots ,x_{n})=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2}.\,$

群O(p,q)是由n×n矩陣M（這裡n = p+q）使得 $M^{T}\eta M=\eta$ 。，或作為雙線性形式 $Q(Mv)=Q(v)$ 組成的群。

這裡M^T表示矩陣M的轉秩。容易驗證所有這樣的矩陣構成一個群。M的逆滿足

M^{-1}=\eta ^{-1}M^{T}\eta .\,

我們得到一個同構群。事實上將η換成任意p個正特徵值q個負特徵值的對稱矩陣（這樣的矩陣必是非奇異的），等價的，任何符號為 (p,q)的二次型。對角化這個矩陣給出此群共軛於標準群O(p,q)。

拓撲[編輯]

O(p,q)和SO(p,q)都不是連通的，分別有4個和2個分支。 $\pi _{0}(O(p,q))\cong C_{2}\times C_{2}$ 是克萊因四元群，每個分支保持或改變p維正定或q維負定子空間的定向。特殊正交群有分支 $\pi _{0}(SO(p,q))=\{(1,1),(-1,-1)\}$ ，同時保持或同時改變兩個定向。

O(p,q)的單位分支常記作SO⁺(p,q)，能和SO(p,q)中同時保持兩個定向的元素的集合等價起來。

群O(p,q)也不是緊，但包含緊子群O(p)和O(q)，分別作用在兩個確定子空間上。事實上，O(p)×O(q)是O(p,q)的極大緊子群。而 $S(O(p)\times O(q))$ 是SO(p,q)的極大緊子群。同樣，SO(p)×SO(q)是SO⁺(p, q)的極大緊子群。從而在同論的意義上來說，這些群是（特殊）正交群的積，這樣代數拓撲不變量都可以計算出來。

特別的，SO⁺(p, q)的基本群是分支基本群的乘積， $\pi _{1}({\mbox{SO}}^{+}(p,q))=\pi _{1}({\mbox{SO}}(p))\times \pi _{1}({\mbox{SO}}(q))\,\!$ ，由下表給出：

$\pi _{1}({\mbox{SO}}^{+}(p,q))$	$p=1$	$p=2$	$p\geq 3$
$q=1$	{1}	$\mathbf {Z}$	$\mathbf {Z} _{2}$
$q=2$	$\mathbf {Z}$	$\mathbf {Z} \times \mathbf {Z}$	$\mathbf {Z} \times \mathbf {Z} _{2}$
$q\geq 3$	$\mathbf {Z} _{2}$	$\mathbf {Z} _{2}\times \mathbf {Z}$	$\mathbf {Z} _{2}\times \mathbf {Z} _{2}$

參考文獻[編輯]

V. L. Popov, Orthogonal group, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Second Edition, Progress in Mathematics, vol. 140, Birkhäuser, Boston, 2002. ISBN 0-8176-4259-5. (372頁有不定正交群的描述)

Joseph A. Wolf, Spaces of constant curvature, (1967) 335頁。

參見[編輯]