有界變差

有界變差（英語：Bounded variation）是函數的一個性質，它指的是總變差為有限的函數。

有界變差的理論對黎曼－斯蒂爾傑斯積分有相當的用處。

定義

設 $\Delta f(x_{i})=f(x_{i})-f(x_{i-1})$，若一個定義於實數區間 $[a,b]$ 上的函數$f$ 是有界變差函數，則存在一正數 $M$，對任意在區間 $[a,b]$上的（有限）分割$P=\{a=x_{0},x_{1},.....,x_{n}=b\}$ 而言，有 $\sum _{i=1}^{n}|\Delta f(x_{i})|\leq M$。

另一個等價的定義為：定義一個跟函數 $f:[a,b]\mapsto \mathbb {R}$ 相關的量如下：

$V_{a}^{b}(f)=\sup _{}\left\{\;\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|\,:\,P\in {\mathcal {P}}\right\},\;$

這裡的符號 ${\mathcal {P}}$ 代表在閉區間 [a, b] 上所有的（有限）分割。

$f$為有界變差函數若且唯若 $V_{a}^{b}(f)<\infty$。

其定義可推廣至複數域乃至於任何的歐幾里德空間上。

性質

• 任意單調函數都是有界變差的。
• 設$f$在區間$[a,b]$上滿足Lipschitz條件，即存在常數$K>0$，使得對於任意$x',x''$，有$|f(x')-f(x'')|\leq K|x'-x''|$，則$f$在$[a,b]$上是有界變差的。
• 若$f$在區間$[a,b]$上連續，且在區間的內部$(a,b)$可微，若對於任意在$f$定義域$[a,b]$的內部$(a,b)$的點$x$而言，存在一正實數$A$使得$|f'(x)|\leq A$，則$f$在$[a,b]$上是有界變差的。
• 若$f$在區間$[a,b]$上是有界變差的，則$f$在該區間上亦是有界的。
• 若$f$在區間$[a,b]$上是有界變差的，則其不連續點的數量是可數的。

參見

• 總變差

參照

• T. M. Apostol, Mathematical Analysis, second edition.
• http://eom.springer.de/V/v096110.htm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）