算子範數 是數學 中泛函分析 里的概念。算子範數衡量的是線性映射 或線性算子 的「大小」,通常指的是兩個賦范向量空間 之間的有界線性映射 所構成的空間的範數。
給定兩個賦范向量空間E 和F ,假定它們的係數域相同(一般是實數 域
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
或複數 域
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)。從E 到F 的一個線性映射A 是連續的當且僅當存在常數c > 0 使得:
∀
u
∈
E
,
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
.
{\displaystyle \forall u\in E,\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}.}
其中的
‖
⋅
‖
E
{\displaystyle \|\cdot \|_{E}}
和
‖
⋅
‖
F
{\displaystyle \|\cdot \|_{F}}
分別是空間E 和F 上裝備的範數。這個定義說明,連續線性映射將一個E 裡面的向量映射到F 中時,其「長度」的改變不會超過c 倍。常數c 是對線性映射A 的「效果」的一個上界估計。所以,有界的集合經過連續映射後的像仍然會是有界集合。因為這一點,連續線性映射也被稱作有界算子。而為了「精確計算」線性映射的「大小」,會引進算子範數的定義。有界線性算子的範數是能夠作為上界估計的c 所有常數中「最小」的一個:
‖
A
‖
o
p
=
inf
{
c
;
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
,
∀
u
∈
E
}
.
{\displaystyle \|A\|_{op}=\inf\{c\;;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E},\;\;\forall u\in E\}.}
其中的
inf
{\displaystyle \inf }
指下確界 。由於實數 集合
{
c
;
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
∀
u
∈
E
}
{\displaystyle \{c;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}\;\forall u\in E\}}
是有下界的閉集 ,定義中的下確界
inf
{\displaystyle \inf }
可以改成「最小元素」:
min
{\displaystyle \min }
。
當F 是E 的係數域時,從E 到F 的連續線性映射被稱為連續線性泛函。連續線性泛函構成的空間被稱為從E 的對偶空間 ,而連續線性泛函的算子範數被稱為對偶範數 。對偶空間在對偶範數下是一個巴拿赫空間 。
考慮兩個裝備了正則歐幾里德範數的歐幾里德空間:
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
和
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
,其中
n
,
m
{\displaystyle n,m}
都是正整數。從
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
映射到
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
的有界線性算子(線性映射)都可以用
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
的矩陣 來表示。所以這些算子構成的空間實際上是矩陣空間:
M
n
,
m
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{n,m}(\mathbb {R} )}
,而對應的算子範數也稱為矩陣範數 。假設某個線性映射對應的矩陣是
A
{\displaystyle A}
,那麼它的矩陣範數是
A
∗
A
{\displaystyle A^{*}A}
的最大特徵值 的平方根 ,或者說是
A
{\displaystyle A}
的最大的奇異值 。
對於無限維的賦范空間,常見的例子有平方可加序列空間
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}}
。其定義為:
ℓ
2
=
{
(
a
n
)
n
∈
N
;
a
n
∈
C
,
∑
n
|
a
n
|
2
<
∞
}
.
{\displaystyle \ell ^{2}=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} };\;\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \}.}
給定一個有界數列
s
=
(
s
n
)
n
∈
N
∈
ℓ
∞
{\displaystyle s=(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{\infty }}
,考慮從
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}}
到自身的線性算子
T
s
{\displaystyle T_{s}}
:
∀
a
=
(
a
n
)
n
∈
N
∈
ℓ
2
,
T
(
a
)
=
(
s
n
⋅
a
n
)
n
∈
N
.
{\displaystyle \forall a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{2},\;\;T(a)=(s_{n}\cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }.}
由於
s
{\displaystyle s}
是有界序列,其範數
‖
s
‖
∞
=
sup
{
|
s
n
|
;
n
∈
N
}
<
+
∞
{\displaystyle \|s\|_{\infty }=\sup\{|s_{n}|;\;\;n\in \mathbb {N} \}<+\infty }
,所以
‖
T
s
(
a
)
‖
2
⩽
‖
s
‖
∞
‖
a
‖
2
{\displaystyle \|T_{s}(a)\|_{2}\leqslant \|s\|_{\infty }\|a\|_{2}}
。
T
{\displaystyle T}
是連續線性算子(有界算子)。而
T
s
{\displaystyle T_{s}}
的算子範數:
‖
T
s
‖
o
p
=
‖
s
‖
∞
.
{\displaystyle \|T_{s}\|_{op}=\|s\|_{\infty }.}
類似的例子還有
L
p
{\displaystyle L^{p}}
空間 之間的映射。例如考慮平方可積函數的空間
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
,設有從
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
映射到
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
的線性算子
T
f
{\displaystyle T_{f}}
:
∀
φ
∈
L
2
(
R
)
,
(
T
f
(
φ
)
)
(
t
)
=
f
(
t
)
ϕ
(
t
)
.
{\displaystyle \forall \varphi \in L^{2}(\mathbb {R} ),\;\;(T_{f}(\varphi ))(t)=f(t)\phi (t).}
其中f 為給定的有界函數。則
T
f
{\displaystyle T_{f}}
是連續線性算子,其算子範數為:
‖
T
f
‖
o
p
=
‖
f
‖
∞
.
{\displaystyle \|T_{f}\|_{op}=\|f\|_{\infty }.}
線性算子A 的算子範數除了定義為
‖
A
‖
o
p
=
inf
{
c
;
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
c
⋅
‖
u
‖
E
∀
u
∈
E
}
.
{\displaystyle \|A\|_{op}=\inf\{c;\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant c\cdot \|u\|_{E}\;\forall u\in E\}.}
以外,還可以用以下等價的方式定義[ 1] :97 :
A 的算子範數是A 在單位閉球上取值的上確界:
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
;
u
∈
E
,
‖
u
‖
E
≤
1
}
,
{\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}\leq 1\},}
A 的算子範數是A 在單位開球上取值的上確界:
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
;
u
∈
E
,
‖
u
‖
E
<
1
}
,
{\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}<1\},}
A 的算子範數是A 在單位球面上取值的上確界:
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
;
u
∈
E
,
‖
u
‖
E
=
1
}
,
{\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{\|A(u)\|_{F};\;\;u\in E,\;\;\|u\|_{E}=1\},}
A 的算子範數是A 在E 中非零元素上取值和元素範數之比的上確界:
‖
A
‖
o
p
=
sup
{
‖
A
(
u
)
‖
F
‖
u
‖
E
;
u
∈
E
,
u
≠
0
}
.
{\displaystyle \|A\|_{op}=\sup\{{\frac {\|A(u)\|_{F}}{\|u\|_{E}}};\;\;u\in E,\;\;u\neq 0\}.}
算子範數是所有從E 到F 的有界線性算子構成的空間上的範數,因此滿足範數的基本性質:
正定性:
‖
A
‖
o
p
⩾
0
{\displaystyle \|A\|_{op}\geqslant 0}
,並且
‖
A
‖
o
p
=
0
{\displaystyle \|A\|_{op}=0}
當且僅當
A
=
0.
{\displaystyle A=0.}
線性性:
∀
a
∈
K
,
‖
a
A
‖
o
p
=
|
a
|
‖
A
‖
o
p
.
{\displaystyle \forall a\in \mathbb {K} ,\;\;\|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}.}
次可加性:
‖
A
+
B
‖
o
p
⩽
‖
A
‖
o
p
+
‖
B
‖
o
p
.
{\displaystyle \|A+B\|_{op}\leqslant \|A\|_{op}+\|B\|_{op}.}
[ 1] :98
此外,由算子範數的定義可推出以下不等式:
∀
u
∈
E
,
‖
A
(
u
)
‖
F
⩽
‖
A
‖
o
p
‖
u
‖
E
.
{\displaystyle \forall u\in E,\;\;\|A(u)\|_{F}\leqslant \|A\|_{op}\|u\|_{E}.}
[ 1] :97
有界算子複合後的算子範數仍然存在。假設有從E 到F 的有界線性算子A 以及從F 到G 的有界線性算子B ,那麼複合算子B
∘
{\displaystyle \circ }
A 也是從E 到G 的有界線性算子,其算子範數滿足不等式:
‖
B
∘
A
‖
o
p
⩽
‖
B
‖
o
p
‖
A
‖
o
p
.
{\displaystyle \|B\circ A\|_{op}\leqslant \|B\|_{op}\|A\|_{op}.}
[ 1] :98
例如當A 是E 到自身的有界線性算子時,有:
‖
A
(
n
)
‖
o
p
⩽
‖
A
‖
o
p
n
.
{\displaystyle \|A^{(n)}\|_{op}\leqslant \|A\|_{op}^{n}.}
如果F 是完備空間 ,那麼從E 到F 的有界線性算子構成的空間,在裝備了算子範數下是完備的空間。[ 1] :98
^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin 著 Leo F. Boron 譯. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis Volume I: Metric and Normed Spaces. New York: Ghaylock Press. 1957 (英語) .