純旋量

在表示論這個數學領域中，特殊正交群的旋量表示中，純旋量（pure spinor 或單旋量 simple spinor）是能被克利福德代數的最大可能子空間零化的旋量。它們在1930年代被埃利·嘉當為了分類複結構而引進。純旋量被引入理論物理，1960年代在羅傑·彭羅斯的推動下在自旋幾何的研究中變得愈發重要起來；它們在彭羅斯的扭量理論的研究中成為基本對象。

定義

考慮一個複向量空間 C²ⁿ 具有偶複維數 2n 與一個二次形式 Q，將向量 v 映為複數 Q(v)。克利福德代數 Cliff_2n 是由 C²ⁿ 中向量的乘積滿足關係

$v^{2}=Q(v)$

生成的環。

旋量是克利福德代數上的模，特別地 C²ⁿ 在旋量空間上有一個作用。零化一個給定旋量 ψ 的 C²ⁿ 的子集是其一個複子空間 C^m。如果 ψ 不等於零則 m 小於或等於 n；如果 m 等於 n 則 ψ 稱為一個純旋量。

純旋量集合

任何純旋量被 C²ⁿ 的一個半維數子空間零化。反之給定一個半維數子空間在差一個複常數相乘的意義下也可以確定其零化的純旋量。純旋量在差一個複數相乘的意義下定義為射影純旋量。射影純旋量空間是齊性空間

SO(2n)/U(n)。

不是所有旋量都是純的。一般地，純旋量可以通過稱為純旋量約束的一系列二次方程從非純旋量中分離出來。不過，實維數不大於 6 的旋量都是純的；在 8 維，在射影的意義下只有一個純旋量約束；在 10 維，與超弦理論相關的情形，有 10 個約束

$\psi \Gamma ^{\mu }\psi =0\ .$

這裡 Γ^μ 是伽瑪矩陣，代表生成克利福德代數的向量 C²ⁿ。一般地有

${2n \choose n-4}$

個約束。

弦理論中的純旋量

最近純旋量在弦理論中受到關注。2000年，巴西聖保羅 Fisica Teorica 研究所 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）教授 Nathan Berkovits 在論文《弦的超龐加萊共變量子化》中引入純旋量形式化。這個形式化是目前所知惟一關於時空與世界面超對稱同時共變的弦的量子化。2002年，奈傑爾·希欽在《廣義卡拉比-丘流形》一文中提出廣義卡拉比-丘流形，其中廣義複結構用一個純旋量定義。這些空間描述了弦理論中通量緊化的幾何。

參考文獻

• Cartan, Élie. Lecons sur la Theorie des Spineurs, Paris, Hermann (1937).
• Chevalley, Claude. The algebraic theory of spinors and Clifford Algebras. Collected Works. Springer Verlag (1996).
• Charlton, Philip. The geometry of pure spinors, with applications （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, PhD thesis (1997).
• Pure spinor on arxiv.org