高斯和

在數論中，高斯和是一種單位根的有限和，可抽象地表為

$G(\chi ,\psi )=\sum _{r\in R}\chi (r)\psi (r)$

其中 $R$ 為有限交換環，$\psi :(R,+)\to \mathbb {S} ^{1}$ 為同態，$\chi :(R^{\times },*)\to \mathbb {S} ^{1}$ 亦為同態，對於 $r\notin R^{\times }$，可定義 $\chi (r)=0$。

這類有限和常見於代數數論與解析數論。此時通常取 $R:=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$，特徵 $\psi$ 必為 $\psi (x)=e^{2\pi i\alpha x/n}$ 之形式（$\alpha \in \mathbb {Z}$），此處的 $\chi$ 不外是一個狄利克雷特徵。這類高斯和有時也記為 $\tau _{\alpha }(\chi )$，出現於狄利克雷L函數的函數方程中。

高斯和的絕對值可透過抽象調和分析的方法導出，其確切值則較難確定。高斯首先算出了二次高斯和，此時取 $R=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$，其中 $p$ 為素數，並取 $\chi (x):=\left({\frac {x}{p}}\right)$ 為勒讓德符號。高斯和遂化為下述指數和：

$\tau _{\alpha }=\sum _{x=0}^{p-1}e^{2\pi i\alpha x^{2}/p}$

高斯得到的結果是：

$\tau _{\alpha }={\begin{cases}\left({\frac {\alpha }{p}}\right){\sqrt {p}},&p\equiv 1\mod 4\\\left({\frac {\alpha }{p}}\right)i{\sqrt {p}},&p\equiv 3\mod 4\end{cases}}$

由此可導出二次互反律的一種證明；二次高斯和也與Theta 函數理論相關。

文獻

• Ireland and Rosen. A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer-Verlag. 1990. ISBN 0-387-97329-X. 
• B.M. Bredikhin, Gauss sum, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4