點線面公設

在幾何學中，點線面公設是一些假設（公理）的集合，可用於歐幾里得幾何的二維（平面幾何）、三維（立體幾何）或更高維。

假設

點線面公設使用以下的假設：

• 唯一線假設。正好有一條線通過兩個不同的點。
• 數線假設。每條線都是可以與實數一一對應的點的集合。任何點都可以對應於 0（零），任何其他點都可以對應於 1（一）。
• 維度假設。給定平面上的一條線，平面中至少存在一個不在這條線上的點。給定空間上的一個平面，空間中至少存在一個不在該平面內的點。
• 平面假設。如果兩個點在一個平面上，那麼包含它們的直線就在這個平面上。
• 唯一平面假設。通過三個不共線的點，正好有一個平面。
• 相交平面假設。如果兩個不同的平面有一個公共點，那麼它們的交點就是一條線。

上述的假設中的前三個假設，用於芝加哥大學學校數學項目(UCSMP) 中學幾何課程中歐幾里得平面的公理代公式。

歷史

歐幾里得幾何的公設基礎可以追溯到《幾何原本》（大約公元前 300 年）。這五個初始公設（被稱為古希臘人公設）都不足以建立歐氏幾何。許多數學家都已經提出了一套完整的公設，這些公理確實可以建立歐氏幾何。其中最著名的一個是由希爾伯特創建的一個與歐氏幾何格相同的系統。不幸的是，希爾伯特系統需要 21 個公理。其他系統使用較少（但不同）的公設。從擁有最少公設的角度來看，這些中最吸引人的是GD Birkhoff (1932)，它只有四個公理。 這四個是：唯一線假設（被 Birkhoff 稱為點線假設）、數軸假設、量角器假設（允許測量角度）和等價於普萊費爾公理的公設（或平行線假設）。出於教學原因，過於簡短的公設列表是不可取的，並且從1960年代的新數學課程開始，高中程度的教科書中使用到的公理數量增加到了甚至超過希爾伯特系統的水平。

外部連結

• Oracle Education Foundation 的「ThinkQuest」在線基本幾何假設和定理描述中描述的點線面公設。
• Calkins 教授（安德魯斯大學）的基本幾何概念在線列表中描述點線面公設 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。