72法則

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金融學上有所謂72法則71法則70法則69.3法則,用作估計將投資倍增或減半所需的時間,反映出的是複利的結果。

計算所需時間時,把與所應用的法則相應的數字,以預料增長率即可。例如:

  • 假設最初投資金額為100元,複息年利率9%,利用「72法則」,將72除以9(增長率),得8,即需約8年時間,投資金額滾存至200元(兩倍於100元),而準確需時為8.0432年。
  • 要估計貨幣購買力減半所需時間,可把與所應用的法則相應的數字,除以通脹率。若通脹率為3.5%,應用「70法則」,每單位之貨幣的購買力減半的時間約為70/3.5=20年。

數值選擇[編輯]

使用72作為分子是因為它有較多因數,容易被整除。它的因數有1、2、3、4、6、8、9和12。不過,視乎增減率及時期,其他數值會較為合適。

一般息率或年期的複利[編輯]

使用72作為分子足夠計算一般息率(由6至10%),但對於較高的息率,準確度會降低。

低息率或逐日複利[編輯]

對於低息率或逐日複利,69.3會提供較準確的結果(因為ln(2)約莫等於69.3%,參見下面「原理」)。對於少過6%的計算,使用69.3也會較為準確。

高息率計算的調整[編輯]

對於高息率,較大的分子會較理想,如若要計算20%,以76除之得3.8,與實際數值相差0.002,但以72除之得3.6,與實際值相差0.2。若息率大過10%,使用72的誤差介乎2.4%至−14.0%。若計算涉及較大息率(r),以作以下調整:

 t = \frac{72 + (r - 8)/3}{r} (近似值)

若計算逐日複息,則可作以下調整:

 t = \frac{69.3147 + r/3}{r} (近似值)

E-M法則[編輯]

E-M法則對使用69.3或70(但非72)時的計算作出修正,擴大計算的應用範圍。如在69.3法則使用E-M修正,計算0-20%的增減率時也會相當準確,就算69.3本來只適合計算0-5%的息率。

E-M法則公式如下:

 t = \frac{69.3}{r} \times \frac{200}{200-r}(近似值)

舉個例,若利率為18%,69.3法則得出的將金額倍增的年期為3.85,但通過E-M法則,乘以200/(200-18),得4.23年,較接近實際年期4.19。

Padé近似式(Padé approximant)給出的結果更為準確,但算式則較為複雜:

 t = \frac{69.3}{r} \times \frac{600+4r}{600+r}(近似值)

比較[編輯]

以下表格比較了以上提及各法則的計算結果:

年息 實際年期 72法則 70法則 69.3法則 E-M法則
0.25% 277.605 288.000 280.000 277.200 277.547
0.5% 138.976 144.000 140.000 138.600 138.947
1% 69.661 72.000 70.000 69.300 69.648
2% 35.003 36.000 35.000 34.650 35.000
3% 23.450 24.000 23.333 23.100 23.452
4% 17.673 18.000 17.500 17.325 17.679
5% 14.207 14.400 14.000 13.860 14.215
6% 11.896 12.000 11.667 11.550 11.907
7% 10.245 10.286 10.000 9.900 10.259
8% 9.006 9.000 8.750 8.663 9.023
9% 8.043 8.000 7.778 7.700 8.062
10% 7.273 7.200 7.000 6.930 7.295
11% 6.642 6.545 6.364 6.300 6.667
12% 6.116 6.000 5.833 5.775 6.144
15% 4.959 4.800 4.667 4.620 4.995
18% 4.188 4.000 3.889 3.850 4.231

原理[編輯]

定期複利[編輯]

定期複利的將來值(FV)為:

 FV = PV \cdot (1+r)^t,

當中PV現在值t為期數、r為每一期的利率。

當該筆投資倍增,則FV = 2PV。代入上式後,可簡化為:

 2 = (1+r)^t.\,

解方程式,t為:

 t = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}.

r數值較小,則ln(1+r)約等於r(這是泰勒級數的第一項);加上ln(2) ≈ 0.693147,於是:

 t \approx \frac{0.693147}{r}.

連續複利[編輯]

連續複利的計算較為簡單:

\ 2=(e^r)^p

可得

\ pr=\ln(2)

可得

p= \frac{\ln(2)}{r} = \frac{0.693147}{r}.

右項上下乘以100,然後以70作為69.3147的近似值:

p= \frac{70}{100r}.