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討論:蒙提霍爾問題

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一個小小疑惑

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Ａ：車，Ｂ：山羊１，Ｃ：山羊２
以下是「所有」可能性：
－

  • 先選Ａ
主持人選Ｂ,不變（Ａ）
主持人選Ｂ,變（Ｃ）
主持人選Ｃ,不變（Ａ）
主持人選Ｃ,變（Ｂ）
  • 先選Ｂ
主持人選Ｃ,不變（Ｂ）
主持人選Ｃ,變（Ａ）
  • 先選Ｃ
主持人選Ｂ,不變（Ｃ）
主持人選Ｂ,變（Ａ）

－
在以上的組合，可見變與不變亦是一半可能。
這個疑惑留待其他人解答。
—以上未簽名的留言是由Roviury（對話 貢獻）於2008年12月18日 (四) 17:22加入的。

解答：
問題出在於，所謂「所有」的可能性，發生的幾率並不是相等的。雖然列出了4種情況（選手A，主持人B；選手A，主持人C；選手B，主持人C；選手C，主持人B）但其實前面兩種情況發生的幾率相等於第三種或第四種情況發生的幾率。
選手選擇A，B或C的幾率，各是1/3
在選手選A的情況下，主持人選擇B或C的幾率各是一半，既是1/6。
在選手選B（或C）的情況下，主持人必定選擇C（或B）。
所以，選擇不變換決定，答對的可能性是「先選A」情況下的1/6+1/6，仍是1/3。
選擇變換決定，則正確率為「先選A」及「先選B」情況，1/3+1/3，得2/3。
—以上未簽名的留言是由138.246.7.112（對話 貢獻）於2008年12月22日 (一) 09:52加入的。
疑問：
參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。
貌似應為：
參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑汽車，主持人挑山羊二號。轉換將失敗。
參賽者挑汽車，主持人挑山羊一號。轉換將失敗。
—以上未簽名的留言是由221.205.48.173（對話 貢獻）於2008年12月24日 (三) 11:19加入的。

我認為這個解釋或許可以解決以上的疑惑：
（實只是把138.246.7.112的文字解答重新演繹而已）
先假設所有選擇發生的機會是均等
可能的選擇及其結果（括號內為機率）：

初始選擇 主持人展示 第二次選擇 結果 發生機率
山羊一(1/3) 山羊二(1) 轉換(1/2) 汽車 1/3 * 1 * 1/2 = 1/6 (A)
不轉換(1/2) 山羊 1/3 * 1 * 1/2 = 1/6 (B)
山羊二(1/3) 山羊一(1) 轉換(1/2) 汽車 1/3 * 1 * 1/2 = 1/6 (C)
不轉換(1/2) 山羊 1/3 * 1 * 1/2 = 1/6 (D)
汽車(1/3) 山羊一(1/2) 轉換(1/2) 山羊 1/3 * 1/2 * 1/2 = 1/12 (E)
不轉換(1/2) 汽車 1/3 * 1/2 * 1/2 = 1/12 (F)
山羊二(1/2) 轉換(1/2) 山羊 1/3 * 1/2 * 1/2 = 1/12 (G)
不轉換(1/2) 汽車 1/3 * 1/2 * 1/2 = 1/12 (H)

因轉換而最後得汽車的概率
=轉換且得汽車的概率 / 得汽車的概率
={A,C} / {A,C,F,H}
=(1/6+1/6) / (1/6+1/6+1/12+1/12)
=(1/3) / (1/2)
=2/3

因沒有轉換而最後得汽車的概率
=不轉換且得汽車的概率 / 得汽車的概率
={F,H} / {A,C,F,H}
=(1/12+1/12) / (1/6+1/6+1/12+1/12)
=(1/6) / (1/2)
=1/3

因為 因沒有轉換而最後得汽車的概率(1/3) < 因轉換而最後得汽車的概率(1/2)，所以轉換增加得到汽車的機會

回覆221.205.48.173：
「主持人挑山羊一號」或「主持人挑山羊二號」不就是「主持人挑兩頭山羊的任何一頭」嗎?
重點不是在於有多少個涉及轉換的可能，而是各事件發生機會不均等
--域奇(UTC) @ 2009年3月14日 (六) 21時01分 (UTC+8) 2009年3月14日 (六) 13:01 (UTC)[回覆]

更簡單易懂的解答

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其實只要將沒被參賽者指定的所有門作為一個整體來看待，問題就簡單多了：

當參賽者挑選了一個門（A）之後，這個門後是汽車的概率為1/3，剩下兩個門（B和C）作為一個整體的話概率為2/3。 而主持人打開剩下兩個門當中一個有山羊的門（B）後，則剩下兩個門（B和C）的概率僅僅由那個沒打開的門（C）獨自承擔，因此那個門（C）的概率為2/3。

如果推廣之，若為10個門，那些沒被參賽者挑選的9個門後有一輛汽車的概率為9/10。當主持人挨個打開8個都是山羊的門之後，最後一個門獨自承擔所有9個門的概率，因此為9/10。這時候更改選擇而獲得汽車的概率則陡然增加（9倍）。 若是一萬個門，則更改選擇而獲得汽車的概率為99.99%，我們則可以認為那是「一定」的了。--Jeffwang1840 2009年4月15日 (三) 08:28 (UTC)[回覆]

概率沒有「獨自承擔」的說法。--百楽兎 2009年10月22日 (四) 11:43 (UTC)[回覆]

有關這個問題為什麼不符合直覺

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突然想到這個問題讓人感到困惑是因為：看到這個問題的時候，一開始並沒有明確第一次選擇的目的。之後主持人所做的事讓人感到比較意外，也就是說，直覺上不敢確認主持人放羊的規則。

而在你根本不知道主持人放羊的規則的時候，換一個門未必是好的選擇。因為主持人可以這樣：如果你第一次選的是羊，直接結束；如果你第一次選的是汽車，通過這種方式誘導你選錯。

改變一下描述應該會容易理解一點： 首先，你選擇兩個門，主持人在這兩個之中放出一隻羊。然後你在剩下兩個門裡做出決定，選哪個會有更高的概率是汽車？

或者這麼說： 主持人首先會放出一隻羊，但是你要先指出一個門，主持人不會打開這個門。之後你在剩下的兩個門中做出決定，儘量選到汽車。

應該明確的指出第一次選擇不是為了選汽車。否則就會讓人感到主持人的行為是一種意外的事件，完全是由主持人個人臨時決定的。 --111.172.35.212 (留言) 2010年5月1日 (六) 09:03 (UTC)[回覆]

我寫了一段程序用於證明轉換選擇的概率確實是2/3，但是好冗長，估計不適合放進條目里吧。。。

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就是這樣。。。 --★監視狂人★ Joy Neop →_→ 2013年2月8日 (五) 04:50 (UTC)[回覆]

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