虧格

數學上的虧格，也稱為曲面種數（英語：Genus）有幾個不同但密切相關的意思。最常見的概念是（有方向的）曲面的虧格，是其具有的「孔」的數量，因此，一個球體的虧格為0，而一個圓環的虧格為1。

拓撲

可定向曲面

連通，可定向曲面的虧格是一個整數，代表沿閉簡單曲線切開但不切斷曲面的最大曲線條數。這和柄的個數是相同的。

例如：

• 球面，圓盤和環虧格都為0。
• 環面虧格1，和帶一個柄的咖啡杯的表面是一樣的。

• 可定向曲面的虧格
• 
  虧格0
• 
  虧格1
• 
  虧格2
• 
  虧格3

不可定向曲面

連通，不可定向閉曲面的（不可定向）虧格是一個正整數，代表附在球上的交叉帽的個數。

例如：

• 射影平面有不可定向虧格1。
• 克萊因瓶有不可定向虧格2。

紐結

紐結K的虧格定義為所有K的Seifert曲面的最小虧格。

柄體

3維柄體的虧格是一個整數，代表沿嵌入的圓盤切開而不切斷流形的最大切割數。這和柄的個數是一致的。

例如：

• 球虧格0。
• 實心環$D^{2}\times S^{1}$虧格為1。

圖論

圖的虧格是最小的整數n使得圖可以不用交叉就畫在有n個柄的球面上（也就是虧格為n的可定向曲面）。這樣，一個平面圖虧格為0，因為可以畫在球面上而沒有自交。

圖的不可定向虧格是最小的整數n使得圖可以不用交叉就畫在有n個交叉帽的球面上（也就是不可定向虧格為n的不可定向曲面）。

在拓撲圖論中，有幾種對群的虧格的定義。Arthur T. White引入了如下概念。群$G$的虧格是$G$的任意（連通，無向）凱萊圖的最小格。

代數幾何

有個任意代數曲線C的虧格的定義. 當定義C的域是複數，且C無奇異點時，該定義和作為黎曼曲面的C的拓撲定義相同（其複數點組成的流形）.代數幾何中的橢圓曲線的定義為虧格為1的非奇異曲線。

參看

• 凱萊圖
• 群
• 曲面