凱萊-克萊因模型

雙曲平面射影模型中的直線。紅線之間的綠線都平行於黑線。

幾何中，凱勒-克萊因模型（Cayley–Klein model），也稱為射影模型（projective model）、克萊因圓盤模型（Klein disk model）或貝爾特拉米-克萊因模型（Beltrami–Klein model），是 n-維雙曲幾何的一個模型，其中點由 n-維單位球（二維時或稱單位圓盤）中的點表示，直線由端點位於邊界球面的直線段（即弦）表示。此模型最先出現於貝爾特拉米1868年的兩篇論文中，首先是 n = 2 然後是一般的 n，用於證明雙曲幾何與通常歐幾里得幾何的等相容性（equiconsistency）。

距離公式最先由阿瑟·凱萊在射影和球面幾何的情形下寫出。菲利克斯·克萊因意識到它對非歐幾里得幾何的重要性並普及了這個論題。

距離公式

阿瑟·凱萊使用射影幾何中的交比衡量球面幾何中的距離和角度。隨後，菲利克斯·克萊因意識到凱萊的想法給出了非歐幾里得平面的一個射影模型。給定開單位球中兩個不同點 p 和 q，連接它們的惟一直線與單位球面相交 a b 兩點，使得 a, p, q, b 順次排列。則 p 與 q 之間的雙曲距離為：

$d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {|qa||bp|}{|pa||bq|}},$

這裏豎線表示歐幾里得距離。因子 1/2 使得曲率為 −1。

與雙曲面模型的關係

雙曲面模型是雙曲幾何在 n+1 維閔可夫斯基空間上的一個模型。閔可夫斯基內積由

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots -x_{n}y_{n}$

給出，範數為 $\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}$。雙曲空間嵌入此空間作為向量 x 滿足||x|| = 1 且 x₀（類時分量）為正。點 u 與 v 的內蘊距離（作為嵌入）為：

$d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\cosh ^{-1}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ).$

這也可以寫成齊次形式

$d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\cosh ^{-1}\left({\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}\cdot {\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\right).$

這使我們可以按任意要求縮放向量。

凱萊-克萊因模型是由雙曲模型縮放所有向量使得類時分量變成 1 得到的。這就是將嵌入雙曲面通過原點投影到平面 x₀ = 1。次映射將雙曲面映為一個半徑 1 球體，球的邊界球面對應於雙曲面的共性無窮遠。距離函數，在齊次形式下不變。因為雙曲面模型的內蘊直線（測地線）是通過閔可夫斯基原點的平面的交集，故凱萊-克萊因模型的內蘊直線是球面的弦。

與龐加萊圓盤模型的關係

龐加萊圓盤模型與凱萊-克萊因模型都是 n-維雙曲空間在 Rⁿ 中 n-維單位球上的模型。如果 $u$ 是表示龐加萊圓盤模型中一點的範數小於 1 的一個向量，則凱萊-克萊因模型中相應的點為

$s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.$

反之，從一個表示凱萊-克萊因模型中一點的範數小於 1 的一個向量 $s$，龐加萊圓盤模型中對應點是

$u={\frac {s}{1+{\sqrt {1-s\cdot s}}}}={\frac {(1-{\sqrt {1-s\cdot s}})s}{s\cdot s}}.$

給定單位圓盤的邊界上兩點，它們習慣上稱為理想點，在凱萊-克萊因模型中連接它們的直線是它們之間的弦，但在對應的龐加萊圓盤模型中是位於兩個邊界點向量生成的二維子空間中過這兩個點的一條正交於圓盤邊界的圓弧。這兩個模型通過從圓盤的中心的出發一個投影聯繫起來；由中心出發過一個模型中的一條直線上一點的一條射線經過另一個模型中的對應直線上的對應點。

參見

• 龐加萊半平面模型
• 龐加萊度量
• 反演

參考文獻

• Luis Santaló (1961), Geometrias no Euclidianas, EUDEBA.
• Stahl, Saul. The Poincaré Half-Plane. Jones and Bartlett. 1993.