對勾函數

在數學中，對勾函數，又名雙勾函數、耐克函數、對號函數，表示形為$f(x)=ax+{\frac {b}{x}}$的函數，其中$ab\geq 0$。函數定義域為$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，值域為$(-\infty ,-2{\sqrt {ab}}]\cup [2{\sqrt {ab}},\infty )$。其圖像是分別以$y$軸和$y=ax$為漸近線的兩支雙曲線。當$a\geq 0,b\geq 0$時，其圖像在第一象限形狀就是個像耐克的品牌徽標一樣，因此得名耐克函數。

圖像

以下是對勾函數$f(x)=x+{\frac {1}{x}}$的圖像

函數單調性

• a、b同正，在$\left(-\infty ,-{\sqrt {\frac {b}{a}}}\right]$單調遞增，在$\left[-{\sqrt {\frac {b}{a}}},0\right)$單調遞減，在$\left(0,{\sqrt {\frac {b}{a}}}\right]$單調遞減，在$\left[{\sqrt {\frac {b}{a}}},+\infty \right)$單調遞增。
• a、b同負，在$\left(-\infty ,-{\sqrt {\frac {b}{a}}}\right]$單調遞減，在$\left[-{\sqrt {\frac {b}{a}}},0\right)$單調遞增，在$\left(0,{\sqrt {\frac {b}{a}}}\right]$單調遞增，在$\left[{\sqrt {\frac {b}{a}}},+\infty \right)$單調遞減。

函數單調性的證明

對$f(x)=x+{\frac {a}{x}}(a>0)$，任取$0<x_{1}<x_{2}\leq {\sqrt {a}}$，則有${\begin{cases}x_{1}-x_{2}<0\\x_{1}\cdot x_{2}>0\\0<x_{1}\cdot x_{2}<a\\\end{cases}}$
$\therefore f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+{\frac {a}{x_{1}}}-x_{2}-{\frac {a}{x_{2}}}={\frac {(x_{1}-x_{2})(x_{1}{\cdot }x_{2}-a)}{x_{1}{\cdot }x_{2}}}>0$，即$f(x_{1})>f(x_{2})$
$\therefore f(x)$在$(0,{\sqrt {a}}]$上單調遞減。同理，$f(x)$在$[{\sqrt {a}},+\infty )$上單調遞增；在$(-\infty ,-{\sqrt {a}}]$上單調遞增；在$\left[-{\sqrt {a}},0\right)$上單調遞減。