希欽系統
外觀
數學中,希欽可積系統是奈傑爾·希欽 (1987)提出的一類可積系統,取決於復約化群與緊黎曼曲面的選擇。希欽系統是代數幾何、李群理論和可積系統理論的交叉,通過共形場論,還在複數域上的幾何朗蘭茲對應中發揮重要作用。
希欽系統的0虧格類似物是卡尼爾可積系統,是勒內·卡尼爾發現的Schlesinger方程的某個極限,通過定義譜曲線解決了他的系統(卡尼爾系統是高丹模型的經典極限。Schlesinger方程是克尼日尼克–扎莫洛奇科夫方程的經典極限)。
幾乎所有經典力學的可積系統都可作為希欽系統或Bottacin & Markman (1994)的通用推廣的特例。
描述
[編輯]用代數幾何的語言來說,系統的相空間是某緊代數曲線上,餘切叢到某約化群G的穩定G叢的模空間的部分緊化。這個空間被賦予了規範辛形式。簡單起見,假設是一般線性群,則哈密頓量可以描述如下:G叢的模空間在叢F處的切空間是
根據塞雷對偶性,對偶於
其中K是規範叢,於是
稱作希欽對或希格斯叢,定義了餘切叢中的點。取
就可得
中的元素,這是個不依賴於的向量空間。因此,在這些向量空間中任取基,就能得到函數,這就是希欽哈密頓量。一般約化群的構造與此類似,用的是G的李代數上的不變多項式。
由於平凡的原因,這些函數在代數上是獨立的,一些計算表明它們的數量恰是相空間維數的一半。非平凡部分是證明函數的泊松交換性。因此,它們定義了辛或劉維爾–阿諾德定理意義上的可積系統。
希欽纖維化
[編輯]希欽纖維化是從希欽對的模空間到特徵多項式的映射,是卡尼爾用於定義譜曲線的映射的高虧格類似物。Ngô (2006, 2010)在證明朗蘭茲綱領基本引理時使用了有限域上的希欽纖維化。
另見
[編輯]參考文獻
[編輯]- Chudnovsky, D.V., Simplified Schlesinger systems, Lettere al Nuovo Cimento, 1979, 26 (14): 423–427, S2CID 122196561, doi:10.1007/BF02817023
- Garnier, René, Sur une classe de systemes différentiels abéliens déduits de la théorie des équations linéaires, Rend. Circ. Mat. Palermo, 1919, 43: 155–191 [2024-06-15], S2CID 120557738, doi:10.1007/BF03014668, (原始內容存檔於2022-10-28)
- Hitchin, Nigel, Stable bundles and integrable systems, Duke Mathematical Journal, 1987, 54 (1): 91–114, doi:10.1215/S0012-7094-87-05408-1
- Ngô, Bao Châu, Fibration de Hitchin et structure endoscopique de la formule des traces (PDF), International Congress of Mathematicians. Vol. II, Eur. Math. Soc., Zürich: 1213–1225, 2006, MR 2275642
- Ngô, Bao Châu, Fibration de Hitchin et endoscopie, Inventiones Mathematicae, 2010, 164 (2): 399–453, Bibcode:2006InMat.164..399N, ISSN 0020-9910, MR 2218781, S2CID 52064585, arXiv:math/0406599
, doi:10.1007/s00222-005-0483-7