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開世定理

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幾何學中,開世定理歐幾里得幾何學中的一個定理,可以看做是托勒密定理的一個推廣結果。開世定理得名於愛爾蘭數學家約翰·開世

敘述

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開世定理的背景是內切圓。設有半徑 的一個圓,圓內又有四個圓 內切於圓(如右圖)。如果將圓外公切線的長度設為,那麼開世定理聲稱,有下列等式成立。

可以注意到,如果四個內切的圓都退化成點的話,就會變成圓 上的四個點,而開世定理中的等式也會化為托勒密定理。

證明

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設大圓的圓心是點;四個圓的圓心分別是點,半徑分別是。每個圓與大圓 的切點分別是

首先,根據勾股定理可以推出:對於任意的ij,都有

接下來的思路是將這個公式右邊的各個長度用 來表示。

考慮三角形,根據三角形的餘弦定理

由於每個圓 都和大圓相切,所以:

設點 為大圓 上的任意一點,根據三角形的正弦定理,在三角形之中,有:

所以,餘弦式

將以上 代入式子中,就可以得到:

再代入式子中,就得到的表達式:

以上等式對所有的ij 都成立,因此只要注意到四邊形 是圓內接四邊形,那麼對其應用應用托勒密定理就可以得到開世定理:

證明完畢。

推廣

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可以用類似的方法證明,只要當圓 與大圓 相切(不論是外切還是內切),就會有類似開世定理的等式成立。這是需要註明,對任意的ij

如果圓 是與大圓 以同樣的方式相切(都是外切或者都是內切)的話,則表示兩個圓的外公切線的長度;
如果圓 是與大圓 以不同的方式相切(一個是外切而另一個是內切)的話,則表示兩個圓的內公切線的長度。

另一個特點是:這定理的逆定理也成立。也就是說,如果開世定理的等式成立,那麼這些圓必定以規定的方式與大圓相切。[1]

應用

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在歐幾里得幾何學中,開世定理可以用來證明多種不同的結論。比如說費爾巴哈定理的一個簡潔證明中就用到了它。

註釋

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  1. ^ Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry, p.123-125

參考書籍

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外部連結

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