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逐點乘積

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兩個函數逐點乘積(英語:pointwise product)由兩函數在定義域上的每一值的映射相乘得到,仍是一個函數。若fg 都是定義域為X對應域Y 的函數,且Y 中的元素可以與其他數相乘(例如Y可以是某個數集),則fg 的逐點乘積是從XY 的另一個函數,這個函數將xX 映射到f(x)g(x)。

形式定義

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XY集合,令乘法定義在Y 內,也就是說對於Y 中的每一yz ,令由給定的乘積

明確定義。令fg函數fg : XY ,則對於X 中的每一x逐點乘積 (f·g) : XY由下式定義為

上式在二元運算符·略去時也同樣乘積,其中f·g = fg

例子

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最常見的例子是當對應域是乘法明確定義了的環或時,兩個函數的逐點乘積。

  • Y實數R,則fg : XR的逐點乘積是映射的普通乘法。例如,有函數f(x) = 2xg(x) = x + 1,則對於R中的每一實數x
  • 卷積定理敘述了卷積的傅立葉轉換是傅立葉轉換的逐點乘積:

逐點乘積的代數應用

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X集合R 為環。因為加法乘法都在R 中有定義,我們可以通過定義函數的逐點加法、乘法和純量乘法,從XR 的函數中構造一個代數結構,這樣的代數稱為k-代數(體上的代數)。

RX標示XR 的函數集,那麼就稱若fgRX的元素,則f + gfgrf 都是RX 的元素,其中rf 定義為對R 中的所有r 都有

推廣

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fg 都的定義域中包含一組離散變量的所有可能賦值,則它們的逐點乘積是由一個函數,這一函數的定義域是由兩個函數定義域的併集中的所有可能賦值組成。每一賦值的取值由由兩個給定函數值的乘積計算,而二者的賦值子集都在定義域中。

例如,給定布林變量pq 的函數f1()與布林變量qr 的函數f2(),且二者值域都包含於R,則f1() 與f2() 的逐點乘積如下表所示:

p q r f1(p, q) f2(q, r) 逐點乘積
T T T 0.1 0.2 0.1 x 0.2
T T F 0.1 0.4 0.1 x 0.4
T F T 0.3 0.6 0.3 x 0.6
T F F 0.3 0.8 0.3 x 0.8
F T T 0.5 0.2 0.5 x 0.2
F T F 0.5 0.4 0.5 x 0.4
F F T 0.7 0.6 0.7 x 0.6
F F F 0.7 0.8 0.7 x 0.8