在數學中,黎曼映射定理是複分析最深刻的定理之一,此定理分類了
的單連通開子集。
設
為開圓盤,
為單連通開子集。若
,則存在一對一的全純映射
,使
亦全純。換言之,
與
雙全純同構。
注意到二維的全純映射不外乎保持定向的共形映射,它保持角度與定向不變。
黎曼在他1851年的博士論文中陳述了這個結果,但其證明不完整。康斯坦丁·卡拉西奧多里在1912年發表了第一個完整證明。
- 黎曼映射定理乃是存在性定理,一般無法具體表示從
至
的全純映射。
- 定理中對
的條件極寬鬆;舉例明之,
的邊界可能是碎形曲線,但
仍可透過共形映射映至單位圓盤,這在直觀上是很難想像的。
- 此定理對
時即告失效:環型區域(形如
)之間的共形映射僅有反演、縮放與旋轉。
- 此定理在更高維度即不成立。
- 在黎曼曲面的框架下,此定理可推廣為單值化定理:單連通黎曼曲面必同構於
或
。
給定
和
,我們希望構造一個函數
,它把
映射到單位圓盤,把
映射到
。在這個證明概要中,我們假設
是有界的,且其邊界是光滑的,就像黎曼所做的那樣。記
![{\displaystyle f(z)=(z-z_{0})\exp(g(z))\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4d2d90eb202ff77bc2cce283f203c3d6c86c74)
其中
是某個(待確定的)全純函數,其實數部分為
,虛數部分為
。於是顯然z0是f的唯一一個零點。我們要求對於
的邊界上的
有
,因此我們需要在邊界上有
。由於
是全純函數的實數部分,我們知道
一定是一個調和函數,也就是說,它滿足拉普拉斯方程。
於是問題變為:存在某個實值調和函數
,對所有的
都有定義,且具有給定的邊界條件嗎?狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要確立了u的存在,全純函數
的柯西-黎曼方程便允許了我們求出
(這個論證依賴於
是單連通的假設)。一旦構造了
和
,我們還需要驗證所得到的函數
確實滿足所有需要的性質。
- John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
- John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
- Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3
- Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), Göttingen, 1851