Verma模

Verma模（Verma module）是李代數表示理論中的基本研究對象，其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之間的態射相應於旗流形上的不變微分算子。

可用Verma模來證明以下命題：最高權為 $\lambda$ 的最高權表示的維數有限，若且僅若 $\lambda$ 是支配整權（dominant integral weight）。

Verma模的定義

設：

$F$ 為一域；
${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ，為 $F$ $F$ 上一半單李代數；
- ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ 為其泛包絡代數
- ${\mathfrak {b}}$ ${\mathfrak {b}}$ 為其一Borel子代數
  - ${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$ 為其泛包絡代數
- ${\mathfrak {h}}$ 為其一嘉當子代數
$\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ 為一固定之權。
$F_{\lambda }$ 為 $F$ 上的一維向量空間，賦與 ${\mathfrak {b}}$ -模結構： ${\mathfrak {h}}$ 的作用為「乘以 $\lambda$ 」，正根的作用為零。由於 $F_{\lambda }$ 是一左 ${\mathfrak {b}}$ －模，他同時亦是一左 ${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$ －模。
由Poincaré-Birkhoff-Witt定理， ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ 有一自然右 ${\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})$ －模結構。由於 ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ 亦是一左 ${\mathfrak {g}}$ －模，所以是 $({\mathfrak {g}},{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}}))$ -雙模。
定義（最高權為 $\lambda$ 之）Verma模 為

M_{\lambda }={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _{{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }

此自然地是一左 ${\mathfrak {g}}$ －模。從Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知： $M_{\lambda }$ ，作為一向量空間，同構於

{\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}_{-})\otimes _{F}F_{\lambda }

其中 ${\mathfrak {g}}_{-}$ 為 ${\mathfrak {g}}$ 之負根生成之子李代數。

基本性質

作為 ${\mathfrak {g}}$ －模，Verma模是一最高權表示，即整個模由一最高權向量生成。此最高權向量是 $1\otimes 1$ 的像（其中前 $1$ 為 ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ 之單位，後 $1$ 為域 $F$ 之單位元）；其權為 $\lambda$ 。

Verma模是weight modules，即 $M_{\lambda }$ 是其權子空間之直和。每一權子空間 $M_{\mu }$ 是有限維的，其維度是 $M_{\mu }$ 權 $\lambda -\mu$ 寫成正根之和之方法之數（參見Kostant partition function）。

Verma模有一重要性質：若 $V$ 為任一最高權模，其最高權為 $\lambda$ ，則存在一 ${\mathfrak {g}}$ 滿射： $M_{\lambda }\to V$ 。換言之，任何最高權模都是 $M_{\lambda }$ 的商模。

$M_{\lambda }$ 內存在唯一極大子模，而 $M_{\lambda }$ 與此子模之商是不可約的。

Verma模 $M_{\lambda }$ 本身不可約若且僅若當其最高權 $\lambda$ 分解成基本權（fundamental weight（英語：fundamental weight））之和時，每一系數都不是 $\{0,1,2,\ldots \}$ 。

稱Verma模 $M_{\lambda }$ 為regular，若其最高權λ位於一支配權 ${\tilde {\lambda }}$ 之仿射Weyl軌跡上。換言之，存在Weyl羣的元素w，使

\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}

，

其中 $\cdot$ 是Weyl羣的仿射作用。

稱Verma模 $M_{\lambda }$ 為singular，若λ的仿射軌跡上無支配權。此時，存在權 ${\tilde {\lambda }}$ 使 ${\tilde {\lambda }}+\delta$ 落於基本Weyl室之牆上；（其中δ為各基本權之和）。

Verma模之間的態射

設 $\lambda ,\mu$ 為兩權。若存在態射

M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }

，

則 ${\mathfrak {g}}$ 的Weyl羣 $W$ 的仿射作用 $W$ 必然能把 $\mu$ 帶到 $\lambda$ 。此為Harish-Chandra無限小中心特徵標定理之一推論。

每一Verma模態射都是單射。態射空間之維度

dim(Hom(M_{\mu },M_{\lambda }))\leq 1

其中 $\mu ,\lambda$ 為任何兩權。因此，存在一非零態射 $M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }$ 若且僅若 $M_{\mu }$ 同構於 $M_{\lambda }$ 的一（唯一）子模。

Verma模態射的完整分類來自I.N.伯恩斯坦、I.M.蓋爾芳特與S.I.蓋爾芳特的工作^[1]與N. Verma的工作^[2]。簡言之，

存在非零態射
$M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }$ 若且僅若存在一串權

$\mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda$
使得存在正根 $\gamma _{i}$ 使 $\nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )$ （其中 $s_{\gamma _{i}}$ 是根反映（根系），而 $\delta$ 是所有基本權之和）且對每一 $1\leq i\leq k$ ， $(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})$ 為一自然數（其中 $H_{\gamma _{i}}$ 是根 $\gamma _{i}$ 之對偶根（coroot（英語：coroot）））。

若Verma模 $M_{\mu }$ 與 $M_{\lambda }$ 俱為regular，則僅存支配權 ${\tilde {\lambda }}$ 與Weyl羣元w, w′使

P

\mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}

而且

\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},

其中 $\cdot$ 為Weyl羣的仿射作用。設此等權是整權（integral weight（英語：integral weight））。存在非零態射

M_{\mu }\to M_{\lambda }

若且僅若，在Weyl羣W 的Bruhat次序中，

w\leq w'

。

Jordan-Holder序列

設

0\subset A\subset B\subset M_{\lambda }

為一 ${\mathfrak {g}}$ －模序列，其中B/A為不可約表示，其最高權為μ。則存在非零態射 $M_{\mu }\to M_{\lambda }$ 。

推論：設 $V_{\mu },V_{\lambda }$ 為二最高權表示。若

V_{\mu }\subset V_{\lambda }

則存在非零態射 $M_{\mu }\to M_{\lambda }$ 。

伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特分解

設 $V_{\lambda }$ 為李代數 ${\mathfrak {g}}$ 的一有限維不可約表示，其最高權為λ。我們已知：存在非零態射

M_{w'\cdot \lambda }\to M_{w\cdot \lambda }

若且僅若，在其Weyl羣的Bruhat次序中，

w\leq w'

。

以下定理描述如何分解 $V_{\lambda }$ 成Verma模的正合序列。（此定理出現於伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特1975年的論文^[3]）:

存在由 ${\mathfrak {g}}$ －態射組成的正合序列

$0\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=n}M_{w\cdot \lambda }\to \ldots \to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=2}M_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=1}M_{w\cdot \lambda }\to M_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0$

其中n為Weyl羣最長元之長度。

一般研究員簡稱其為「BGG分解」。廣義Verma模亦有類似分解。

近來有人研究此等分解之某些特例，以助理解拋物幾何（parabolic geometries（英語：parabolic geometries），嘉當幾何之特例）上之不變微分算子。嘉當幾何的定義依賴於一李羣G與其拋物子羣P。參閲^[4]、^[5]與^[6]。

參攷

Knapp, A. W. Lie Groups Beyond an troduction. Second Edition. (2002), page 285.
Dixmier, J., Enveloping Algebras, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1977
Humphreys J., Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, 1980
Roggenkamp K., Stefanescu M., Algebra - Representation Theory, Springer, 2002

註解

^ Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Structure of Representations that are generated by vectors of highest weight, Functional. Anal. Appl. 5 (1971)
^ Verma N., Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras}, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968)
^ Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Differential Operators on the Base Affine Space and a Study of g-Modules, Lie Groups and Their Representations, I. M. Gelfand, Ed., Adam Hilger, London, 1975.}
^ Eastwood M., Variations on the de Rham complex, Notices Amer. Math. Soc, 1999 - ams.org
^ Calderbank D.M., Diemer T., Differential invariants and curved Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001158, 2000 - arxiv.org
^ Cap A., Slovak J., Soucek V., Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001164, 2000 - arxiv.org

參見

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[1] Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Structure of Representations that are generated by vectors of highest weight, Functional. Anal. Appl. 5 (1971)

[2] Verma N., Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras}, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968)

[3] Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Differential Operators on the Base Affine Space and a Study of g-Modules, Lie Groups and Their Representations, I. M. Gelfand, Ed., Adam Hilger, London, 1975.}

[4] Eastwood M., Variations on the de Rham complex, Notices Amer. Math. Soc, 1999 - ams.org

[5] Calderbank D.M., Diemer T., Differential invariants and curved Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001158, 2000 - arxiv.org

[6] Cap A., Slovak J., Soucek V., Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, Arxiv preprint math.DG/0001164, 2000 - arxiv.org

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[4]

[5]

[6]

Verma模的定義

基本性質

Verma模之間的態射

Jordan-Holder序列

伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特 分解

參攷

註解

參見

伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特分解